Question

18. (Fuvest-SP) Considere uma carga positiva q fixa no ponto A e uma carga 3q fixa no ponto B, distante 1 m de A.
a) Se em um ponto M sobre AB os potenciais devidos às cargas forem
iguais, qual a distância AM?
b) Se uma terceira carga for colocada em um ponto P sobre o segmen-
to AB e permanecer em equilibrio, qual a razão entre as distâncias
AP e BP?​

Answer 1

Na imagem abaixo temos uma representação do problema.

Os pontos M e P podem ou não coincidirem.

Se o ponto M sobre AB tiver o mesmo potencial para ambas as cargas então, pela equação do potencial temos:

$\displaystyle{V_A=\frac{q}{4\pi \epsilon_o AM }}$

$\displaystyle{V_B=\frac{3q}{4\pi \epsilon_o BM }}$

$\displaystyle{V_A=V_B}$

$\displaystyle{\frac{q}{4\pi \epsilon_o AM }=\frac{3q}{4\pi \epsilon_o BM }}$

$\displaystyle{\frac{1}{AM }=\frac{3}{BM }}$

$\displaystyle{3AM=BM }}$

Como $AM+BM=1$, temos:

$AM+3BM=1$

$4AM=1$

$AM=\frac{1}{4}$

Logo a distancia AM é igual à 1/4 metro, o que responde o item A.

Se uma terceira carga Q é colocada num ponto P e ela fica em equilíbrio, isso significa que a força eletrostática da carga no ponto A é a mesma que a carga no ponto B. Vamos supor que essa carga seja positiva (o resultado é o mesmo para uma carga negativa). Adotamos como positivo a direção AB. Temos:

$\displaystyle{F_A=\frac{qQ}{4\pi\epsilon_oAP^2}}$  

A força devido a carga A é na direção positiva. Se a carga Q fosse negativa ela seria na direção negativa e teria um sinal de menos.

$\displaystyle{F_B=-\frac{3qQ}{4\pi\epsilon_oBP^2}}$

A força devido a carga B é na direção negativa, por isso o sinal de menos. Se a carga Q fosse negativa ela seria na direção positiva e não teria sinal de menos.

Como temos equilíbrio eletrostático, a soma das forças deve ser 0.

Temos:

$\displaystyle{-\frac{3qQ}{4\pi\epsilon_oBP^2}+\frac{qQ}{4\pi\epsilon_oAP^2}=0}$

$\displaystyle{\frac{qQ}{4\pi\epsilon_oAP^2}=\frac{3qQ}{4\pi\epsilon_oBP^2}}$

$\displaystyle{\frac{1}{AP^2}=\frac{3}{BP^2}}$

$\displaystyle{3AP^2=BP^2}$

$AP\sqrt{3}=BP$

$\displaystyle{\frac{AP}{BP}=\frac{1}{\sqrt{3}}}$

Respondendo o item B.

Answer 2

Temos que o potencial será:

$V_A=k\frac{q}{d_A_M} \\\\V_B=k\frac{3q}{d_B_M}$

E sabemos que $d_A_M +d_B_M=1$;

a) Temos que no ponto M os potenciais são iguais, então:

$V_A=V_B$

$k\frac{q}{d_A_M}=k\frac{3q}{d_B_M}$

Simplificando os termos semelhantes,

$\frac{1}{d_A_M}=\frac{3}{d_B_M}$

$3d_A_M=d_B_M$

Voltando ao início, vimos que o ponto M se encontra sobre o segmento AB, logo:

$d_A_M +d_B_M=1$

$d_B_M=1-d_A_M$

Substituindo em $3d_A_M=d_B_M$, temos:

$3d_A_M=1-d_A_M$

$3d_A_M+d_A_M=1\\\\4d_A_M=1\\\\d_A_M=\frac{1}{4}$

$d_A_M=0,25$

Logo temos que a distância AM = 0,25 m

b)

Para a letra b), temos que uma terceira carga é colocada no segmento AB, e permanece em equilíbrio o sistema, assim, vamos supor que uma das cargas tenha sinal contrário, pois cargas de sinais diferentes se atraem e cargas de sinais iguais se repelem.

$F_A_P=k\frac{-qQ}{(d_A_P)^{2} }\\ \\F_B_P=k\frac{3qQ}{(d_B_P)^{2} }$

$F_R=F_A_P+F_B_P\\\\F_A_P+F_B_P=0$

$F_A_P=F_B_P$

$k\frac{qQ}{(d_A_P)^{2} } =k\frac{3qQ}{(d_B_P)^2}$

Simplificando os termos semelhantes, temos:

$\frac{1}{(d_A_P)^2}=\frac{3}{(d_B_P)^2}$

Queremos a razão entre as distâncias AP e BP, logo:

$(\frac{d_A_P}{d_B_P} )^{2}=\frac{1}{3}$

$\frac{d_A_P}{d_B_P} =\sqrt{\frac{1}{3} }$

$\frac{d_A_P}{d_B_P}=\frac{1}{\sqrt{3} }$

Racionalizando, temos:

$\frac{d_A_P}{d_B_P}=\frac{\sqrt{3} }{3}$