Question

=
17. Você se lembra das propriedades da adição e da subtração?
Vamos retomá-las. Considerando os números reais a, be c, temos:
a + b = b + a (propriedade comutativa)
a + (b + c) = (a + b) + C (propriedade associativa)
Existe um número real x tal que a + x = 0. (elemento oposto)
Existe um número real x tal que a + X = a. (elemento neutro da adição)
Agora, responda às questões e justifique sua resposta.
a) A adição de matrizes é comutativa?
b) A adição de matrizes é associativa?
c) Qual é o elemento oposto de uma matriz A?

Answer 1

De acordo com os exemplos dados se prova que :

• a adição de matrizes é comutativa e associativa.

• a matriz oposta a uma matriz dada, tem os seus elementos opostos ( simétricos ) da matriz dada

a)

Adição de matrizes é comutativa.

Exemplo:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2\\4&5\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&3\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}1+0&2+1\\4+2&5+3\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}1&3\\6&8\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&3\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ccc}1&2\\4&5\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}0+1&1+2\\2+4&3+5\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}1&3\\6&8\end{array}\right]$

Provada comutatividade

b )

A adição de matrizes é associativa

Matriz A =  $\left[\begin{array}{ccc}1&2\\4&5\end{array}\right]$

Matriz B  = $\left[\begin{array}{ccc}1&3\\2&1\end{array}\right]$

Matriz C = $\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

( A + B ) + C = A + ( B + C )

( A + B ) + C

(  $\left[\begin{array}{ccc}1&2\\4&5\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ccc}1&3\\2&1\end{array}\right]$ ) +  $\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$  

= $\left[\begin{array}{ccc}2&5\\6&6\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$  = $\left[\begin{array}{ccc}3&5\\6&7\end{array}\right]$  = ( A + B ) + C

A + ( B + C )

$\left[\begin{array}{ccc}1&2\\4&5\end{array}\right]$ + (  $\left[\begin{array}{ccc}1&3\\2&1\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$ )

= $\left[\begin{array}{ccc}1&2\\4&5\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ccc}2&3\\2&2\end{array}\right]$

= $\left[\begin{array}{ccc}3&5\\6&7\end{array}\right]$   =  A + ( B  + C )

Verificado

c)

A matriz oposta a matriz D , será a matriz  " - D "

Matriz D =  $\left[\begin{array}{ccc}1&2\\4&5\end{array}\right]$

Matriz " - D " = $\left[\begin{array}{ccc}-1&-2\\-4&-5\end{array}\right]$

A soma de matrizes opostas deverá ser a matriz nula

D + ( - D )  = $\left[\begin{array}{ccc}1&2\\4&5\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ccc}-1&-2\\-4&-5\end{array}\right]$  

= $\left[\begin{array}{ccc}1-1&2-2\\4-4&5-5\end{array}\right]$

= $\left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right]$

Correto e verificado

Bons estudos.

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Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.