17-Verifique se os pontos dados em cada item são colineares a)A(2,8), B(-4,0),e c(-1,4) b)d(1,-3),e(1,3)e f(6,1) c)g(-4,5),h(-1,2)e i(2,0) d)(-7,1),k(5,-5)e l(3,-4)
Soluções para a tarefa
Resposta:
O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles divide o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta serão demonstrados com base na ilustração a seguir:
O segmento de reta AB possui um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes e possuem três ângulos iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos. Veja:
AM = AN
AB AP
Podemos concluir que AB = 2 * (AM), considerando que M é o ponto médio do segmento AB.
AM = AN
2AM AP
AN = 1
AP 2
AP = 2AN
xP – xA = 2*(xM – xA)
xB – xA = 2*(xM – xA)
xB – xA = 2xM – 2xA
2xM = xB – xA + 2xA
2xM = xA + xB
xM = (xA + xB)/2
Por meio de um método análogo, conseguimos demonstrar que yM = (yA + yB )/2.
Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática para determinar as coordenadas do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano:
Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B.
Exemplos
→ Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.
XA = 4
yA = 6
xB = 8
yB = 10
xM = (xA + xB) / 2
xM = (4 + 8) / 2
xM = 12/2
xM = 6
yM = (yA + yB) / 2
yM = (6 + 10) / 2
yM = 16 / 2
yM = 8
As coordenadas do ponto médio do segmento AB são xM (6, 8).
→ Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ.
XM = [5 + (–2)] / 2
xM = (5 – 2) / 2
xM = 3/2
yM = [1 + (–9)] / 2
yM = (1 – 9) / 2
yM = –8/2
yM = –4
Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Exercício de Ponto médio de um segmento de reta
O ponto médio separa o segmento de reta em duas partes com medidas iguais
O ponto médio separa o segmento de reta em duas partes com medidas iguais
Os pontos A, B e C são colineares, os pontos D, E e F não são colineares, os pontos G, H e I não são colineares e os pontos J, K e L são colineres.
Pontos colineares
Três pontos no plano cartesiano são colineres se estão contidos em uma mesma reta, ou seja, se existe uma reta r, tal que, r passe pelos três pontos ao mesmo tempo. Uma forma de verificar se três pontos A, B e C são colineares é calcular os vetores AB e AC e observar se esses vetores são multiplos um do outro, ou seja, se existe número real k tal que AB = k*AC.
Alternativa a
Temos que
AB = (- 4 - 2, 0 - 8) = (- 6, -8)
AC = (- 1 -2, 4 - 8) = (- 3, -4)
Como (- 6, -8) = 2*(- 3, -4), temos que, esses três pontos são colineares.
Alternativa b
Para os pontos dados, temos que:
DE = ( 1 - 1, 3 -(-3) ) = (0, 6)
DF = ( 6 - 1, 1 -(-3) ) = (5, 4)
Como não existe k, tal que, (0, 6) = k*(5, 4), temos que, esses pontos não são colineares.
Alternativa c
Analisando os pontos G, H e I, temos:
GH = (-1 -(-4), 2 - 5) = (3, -3)
GI = (2 - (-4), 0 - 5) = (6, -5)
Como os vetores encontrados não são multiplos, os pontos G, H e I não são colineares.
Alternativa d
Para os pontos J, K e L, podemos escrever:
JK = (5 -(-7), -5 - 1) = (12, -6)
JL = (3 -(-7), -4 -1) = (10, -5)
Nesse caso temos JK = (5/6)*JL, portanto, os pontos dados são colineares.
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