Question

17. Uma formiga caminha pela grade abaixo, podendo se
mover apenas para a direita ou para cima. Se tiver duas
opções para se mover, ela escolhe uma ao acaso, com
probabilidade 1/2. Qual é a probabilidade de que a formiga
comece no ponto A e termine no ponto B?
1/5
B) 1/32
C) 1/2
D) 1/10
E) 1/8​

Answer 1

Resposta:

LETRA B 1/32

Answer 2

A probabilidade de que a formiga  comece no ponto A e termine no ponto B é de: Alternativa C) 1/2.

Para determinar a probabilidade de que a formiga  comece no ponto A e termine no ponto B, vamos a usar a permutação com repetição, para assim calcular a quantidade de caminhos possíveis que ela têm, lembrando que ela vai ter duas  opções para se mover, para a direita ou para cima.

Então começamos a evaluar os caminhos e as possibilidades:

• De A₁ até P₁ = 1 caminho

• De A₁ até P₂ = ela pode ir 1 vez para a direita (D) e 3 vezes para cima (C)ou seja, 4 passos, isso seria:

                         $\boxed{DCCC = P\limits^{3,1}_4 = \frac{4!}{3!\;*\,1!} = \frac{4!\;*\;3!}{3!\;*1} = 4 }$

• De A₁ até P₃ = ela pode ir duas vezes para a direita e três para cima, ou seja 5 passos:

                     $\boxed{DDCCC = P\limits^{2,3}_5 = \frac{5!}{2!\;*\,3!} = \frac{5!\;*\;4!\;*\;3}{2\;*3!} = 10 }$

• De A₁ até P₄ = dá três passos para a direita e 3 passos para acima, ou seja, 6 passos:

                  $\boxed{DDDCCC = P\limits^{3,3}_6 = \frac{6!}{3!\;*\,3!} = \frac{6\;*\;5\;*\;4\;*3!}{3*2*1\;*\;3!} = 20 }$

• De A até P₅ (B) = dá 4 passos para a direita e 3 passos para acima, 7 passos no total:

            $\boxed{DDDDCCC = P\limits^{4,3}_7 = \frac{7!}{4!\;*\,3!} = \frac{7\;*\;6\;*\;5\;*\;4\;*3!}{4*3*2*1\;*\;3!} = 35 }$

Logo vamos a somar o total de caminhos, e determinamos a probabilidade de ela escolher somente 1 caminho:

• Total caminhos: 1 + 4 + 10 + 20 + 35 = 70 caminhos

• Caminho de A até B = 35 possibilidades

Assim a probabilidade é:

$\boxed{P_{A-B} = \frac{35}{70} = \frac{1}{2}}$

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