Question

17 - UCSal - Sabendo que (1+i)² = 2i, então o valor da expressão y = (1+i)48 - (1+i)49 é: OBS: 48 e 49 são expoentes

Answer 1

Usaremos as seguintes propriedades de potenciação:

$\bullet\,\,\,a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\\\\\bullet\,\,(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\\\\\bullet\,\,\,(a\cdot b)^{m}=a^{m}\cdot b^{m}$
_________________________________

$y=(1+i)^{48}-(1+i)^{49}\\\\y=(1+i)^{48}-(1+i)^{48+1}\\\\y=(1+i)^{48}-(1+i)^{48}\cdot(1+i)$

Colocando $(1+i)^{48}$ em evidência:

$y=(1+i)^{48}\cdot\big[1-(1+i)\big]\\\\y=(1+i)^{48}\cdot[1-1-i]\\\\y=-i\cdot(1+i)^{48}$

Agora vamos usar o que foi dado:

$y=-i\cdot(1+i)^{48}\\\\y=-i\big[(1+i)^{2}\big]^{24}\\\\y=-i\cdot[2i]^{24}\\\\y=-i\cdot2^{24}\cdot i^{24}\\\\y=-2^{24}\cdot i\cdot i^{24}\\\\y=-2^{24}\cdot i\cdot(i^{4})^{6}$

Como, por definição, $i^{2}=-1$, temos qque $i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1$, logo

$y=-2^{24}\cdot i\cdot(1)^{6}\\\\y=-2^{24}\cdot i\cdot1\\\\\boxed{\boxed{y=-2^{24}i}}$