Question

17- De quantas maneiras podemos escolher 5 cartas de um baralho de 52 cartas: a) Indistintamente ? b) as 5 do mesmo naipe?

Answer 1

Nas duas alternativas você usa combinação simples. Por isso, antes de dar a resolução é interessante saber quando usar combinação simples. 

A combinação simples é usada quando se quer saber quantos grupos de k elementos podem ser formados, tendo n elementos ao todo; e dois grupos são diferentes se pelo menos um de seus elementos for diferente. Portanto, se, por exemplo, temos 3 pessoas (a,b,c); um grupo com (a,b) e (b,a) é o mesmo grupo, e aqui temos apenas 1 grupo. Agora se temos (a,b) e (c,b); temos 2 grupos.

A fórmula geral da combinação simples é C(n,k) = (n!)/(k!(n-k)!). Tendo isso em vista, vamos à resolução de sua questão.


a) Temos ao todo 52 cartas e queremos formar grupos diferentes de 5 cartas:
C(52,5) = (52!)/(5!*(52-5)!)
C(52,5) = (52!)/(5!*47!)
C(52,5) = (52*51*50*49*48*47!)/(5!*47!)
C(52,5) = (52*51*50*49*48)/(5!)
C(52,5) = (52*51*50*49*48)/(5*4*3*2*1)
C(52,5) = (13*51*5*49*16)
C(52,5) = 2598960
Ou seja, de um total de 52 cartas, podemos ter 2598960 grupos diferentes com 5 cartas cada.

b) Um naipe possui 13 cartas, e queremos formar grupos diferentes com essas 13 cartas.
C(13,5) = (13!)/(5!*(13-5)!)
C(13,5) = (13!)/(5!*8!)
C(13,5) = (13*12*11*10*9*8!)/(5!*8!)
C(13,5) = (13*12*11*10*9)/(5*4*3*2*1)
C(13,5) = (13*11*9)
C(13,5) = 1287
Com 13 cartas, podemos formar 1287 grupos diferentes. Mas, como um baralho possui 4 naipes, teremos 4*1287 possibilidades. Ou seja, de um total de 52 cartas, podemos ter 5148 grupos diferentes com 5 cartas cartas de mesmo naipe em cada grupo.