Matemática, perguntado por pedrosoaresan8565, 7 meses atrás

16. Uma lista infinita de números tem a seguinte propriedade: para todo inteiro n maior do que 0, a média
aritmética dos n primeiros termos é n. Quantos desses termos são menores do que 2021?
(A) 44 (B) 504 (C) 1010 (D) 1427 (E) 2018

Plinio1212: Colando no Canguru hahhahhha

rayyEstudando: :-: n ta fácil

analaura08090706: Não tá fácil e eu não sei fazer nenhum cálculo

rayyEstudando: *emoji de palhaço*

Soluções para a tarefa

Respondido por matematicman314

A quantidade de termos menores que 2021 dessa lista é 1010 (alternativa C)

Comecemos chamando de $S_{n}$ a soma dos $n$ termos dessa sequência. Como, para todo inteiro $n$ maior do que 0, a média aritmética dos $n$ primeiros termos é $n$ , então:

$\frac{S_{n} }{n} =n$

Recorde que a média aritmética de um conjunto de números é obtida somando todos os valores desse conjunto e dividindo o valor encontrado pela quantidade de números somados.

Dessa forma,

$S_{n}=n^2$

Observando a expressão para essa soma vemos que trata-se da soma dos n primeiros números ímpares. De fato, dada a sequência de números ímpares defina pela fórmula do termo geral $a_{n}=2n-1$ , podemos encontrar a soma dos $n$ primeiros termos tratando tal sequência com uma Progressão Aritmética de razão 2 e primeiro termo 1.

Com isso:

$S_{n}=\frac{(1+2n-1)n}{2} =n^{2}$

Sabendo agora que a tal sequência em questão é a sequência dos números ímpares, fica fácil descobrir quantos termos são menores do que 2021. Basta calcular quantos são os números ímpares menores que 2021.

Para isso, subtraímos 1 de 2021 e dividimos por 2. O claro motivo é que os pares e ímpares em uma sequencia de números naturais se dão na mesma frequência. Logo:

$\frac{2021-1}{2}=\frac{2020}{2} =1010$