Question

16. (UFRJ) Um grupo de 40 moradores de uma cidade de
ciclu decorar uma árvore de Natal gigante Ficou com
binado que cada um terá um numero n de 1 a 40 e que
os enfeites serão colocados na árvore durante os 40 dias
que precedem o Natal da seguinte forma: o morador
número 1 colocará 1 enfeite por dia a partir do 1° dia,
o morador número 2 colocará 2 enfeites por dia a partir
do 2 dia e assim sucessivamente (o morador numeron
colocarán enfeites por dia a partir do n-ésimo dia)
a) Quantos enfeites terá colocado ao final dos 40 dias o
morador número 13?

b) A Sra. X terá colocado, ao final dos 40 dias, um total
de m enfeites. Sabendo que nenhum morador colo
cará mais enfeites do que a Sra. X, determine m.​

Answer 1

a) O morador 13 começa no 13° dia a colocar 13 enfeites. Até o último dia ele colocará 13 enfeites por dia. Ou seja: 40 - 13 + 1 = 28 dias. 28 x 13 = 364 enfeites.

b) Para saber a resposta dessa, precisa achar o padrão do n° de enfeites que cada morador colocou. Vamos ver:

Morador 1: 1 enfeite por dia durante 40 dias, total: 40x1 = 40 enfeites

Morador 2: 2 enfeites por dia durante 39 dias, total: 39x2 = 78 enfeites

Morador 3: 3 enfeites por dia durante 38 dias: total 38x3 = 114 enfeites

...

Morador N: N enfeites por dia durante (40-N+1) dias, total: $N \cdot (40-N+1)$enfeites.

...

Morador 40: 40 enfeites por dia durante 1 dia, total: 1x40 = 40 enfeites

Agora, achamos o máximo N da expressão:

$N \cdot (40-N+1) = -N^2+41 \cdot N$

a = -1, b = 41, c = 0. O máximo N é dado por:

$N_{max} = \dfrac{-b}{2 \cdot a}$

$N_{max} = \dfrac{-41}{2 \cdot (-1)} = \dfrac{-41}{-2} = 20.5$

Esse número não é inteiro, mas indica que o morador que colocou mais enfeites é o 20 ou 21. Ambos colocaram o máximo número de enfeites, que é:

$m = -N^2+41 \cdot N = -20^2 + 41\cdot 20 = -400 + 820 = 420$ enfeites