Question

16- simplifique as expressões:
a)
$\frac{n}{(n - 1)}$
b)
$\frac{(n + 4)}{(n + 2) \: + \: (n + 3)}$
c)
$\frac{(n - 1) \: + n}{n + 1}$
.....


​

Answer 1

Resposta:

0!

Explicação passo-a-passo:

16

$\frac{n!}{(n - 1)!} = \frac{n \times (n - 1)!}{(n - 1)!} = n!$

$\frac{(n+4)!}{(n+2)! +(n+3)!} = \\ \frac{(n+2)!}{(n+2)!} \times \frac{(n+3) \times (n+4)}{(1 + n+3)} = \\ \frac{(n+3) \times (n+4)}{(n+4)} =n + 3$

$\frac{(n - 1)! + n! }{(n+1)!} = \\ (n - 1)! \times \frac{(1 + n)}{(n + 1) \times n \times (n - 1)!} = \\ \frac{1}{n}$

17

$\frac{(n + 1) \times (n) \times (n - 1)!}{(n - 1)!} = 12 \\( n ) \times( n - 1)= 12\\ {n}^{i} = 0 \\ {n}^{ii} = 13$

$\frac{(n + 10) \times (n + 9) \times (n + 8)!}{(n + 8)!} = 30 \\ (n + 10) \times (n + 9) = 30 \\ {n}^{i} = 20 \\ {n}^{ii} = 21$

$n! =0! = 1! = 1 \\ {n}^{i} = 0 \\ {n}^{ii} = 1$

Answer 2

Olá, tudo bem? Observe que TODAS as questões referem-se ao estudo dos fatoriais. Aqui, o segredo é irmos "abrindo" os fatoriais até surgir termo(s) que possa(m) ser simplificado(s). Isto posto, vamos às resoluções:

16.Simplifique as expressões:

$\text{a)}\,\,\dfrac{n!}{(n-1)!}=\dfrac{n(\cancel{n-1!})}{\cancel{(n-1)!}}=\boldsymbol{n}\,\,\checkmark$

$\text{b)}\,\,\dfrac{(n+4)!}{(n+2)!+(n+3)!}=\dfrac{(n+4)(n+3)(n+2)!}{(n+2!)+[(n+3)(n+2)!]}=\\\\\\\dfrac{(n+4)(n+3)\cancel{(n+2)!}}{\cancel{(n+2)!}[1+n+3]}=\dfrac{\cancel{(n+4)}(n+3)}{\cancel{n+4}}=\boldsymbol{n+3}\,\,\checkmark$

$\text{c)}\,\,\dfrac{(n-1)!+n!}{(n+1)!}=\dfrac{(n-1)!+n(n-1)!}{(n+1)\cdot n\cdot(n-1)!}=\\\\\\\dfrac{\cancel{(n-1)!}\cdot\cancel{(1+n)}}{\cancel{(n-1)!}\cdot n\cdot\cancel{(n+1)}}=\boldsymbol{\dfrac{1}{n}}\,\,\checkmark$

17.Resolva as equações:

$\text{a)}\,\,\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}=12\to\dfrac{(n+1)\cdot n\cdot\cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}}=12\to\\\\n(n+1)-12=0\to\boldsymbol{n^2+n-12=0}\Rightarrow\,\,\text{F\'ormula Quadr\'atica}$

$n=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to n=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times 1\times(-12)}}{2\times 1}\to\\\\\\n=\dfrac{-1\pm\sqrt{49}}{2}\to n=\dfrac{-1\pm7}{2}\to \cancel{n=-4}\,\,\text{ou}\,\,\boldsymbol{\boxed{n=3}}\,\,\checkmark$

Obs: Apenas n = 3 é solução válida pois, ao se trabalhar com fatoriais, por definição, "n" deve ser um número natural positivo.

----------------------------------------------------------------------------------------

$\text{b)}\,\,\dfrac{(n+10)}{(n+8)!}=30\to\dfrac{(n+10)\cdot(n+9)\cdot\cancel{(n+8)!}}{\cancel{(n+8)!}}=30\to\\\\(n+10)\cdot(n+9)=30\to n^2+19n+90-30=0\to$

$n^2+19n+80=0\to\text{F\'ormula Quadr\'atica}$

$n=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to n=\dfrac{-19\pm\sqrt{19^2-4\times 1\times 80}}{2\times 1}\to$

$n=\dfrac{-19\pm\sqrt{41}}{2}\to n_1=\dfrac{-19-\sqrt{41}}{2}\,\,\,\text{ou}\,\,\, n_2=\dfrac{-19+\sqrt{41}}{2}$

Obs: Acompanhando a mesma lógica do exercício anterior, NENHUM dos dois valores  encontrados será a resposta. Aqui, a solução é um conjunto vazio.

------------------------------------------------------------------------------------------

c) n! = 1. Duas possibilidades:

   n = 0 (Todos os matemáticos que pesquisei aceitam, por definição), ou

   n = 1  (Aqui, ocorre divergências, mas é aceito por vários matemáticos)

É isso!! :)