Question

16- (M120029AB) O número de diagonais(d) de um poligono é dado pela fórmula: d = n(n-3), em que (n) representa o número de lados do polígono. O número de lados de um polígono que tem 90 diagonais é 2 A) 12 B) 15 C) 27 D) 45 E) 90​

Answer 1

A fórmula usada para determinar o número de diagonais do polígono é:

$\large \text{ \sf{ d = \dfrac{n(n - 3)}{2} } }$

Substituindo o número de diagonais d e fazendo os cálculos possíveis, teremos:

$\large \text{ \sf{ 90 = \dfrac{n {}^{2} - 3n}{2} } }$

$\large \text{ \sf{ 2 \cdot90 = n {}^{2} - 3n } }$

$\large \text{ \sf{ 180 = n {}^{2} - 3n} }$

$\large \text{ \sf{0 = n {}^{2} - 3n - 180 } }$

Resolvendo essa equação do segundo grau, encontraremos o número de lados do polígono. A saber, os coeficientes dessa equação são: a = 1, b = - 3 e c = - 180. O discriminante dessa equação é:

$\large \text{ \sf{\Delta = b {}^{2} - 4 \cdot{a} \cdot{c} } }$

$\large \text{ \sf{\Delta = ( - 3 ){}^{2} - 4 \cdot{ 1} \cdot( - 180)} }$

$\large \sf{\Delta = 9 + 720 }$

$\large \sf{\Delta = 729 }$

Usando a fórmula de Bháskara, teremos:

$\large \text{ \sf{ x = \dfrac{ - b \pm \sqrt{\Delta} }{2 \cdot{a}} } }$

$\large \text{ \sf{ x = \dfrac{ - ( - 3) \pm \sqrt{729} }{2 \cdot1} } }$

$\large \text{ \sf{x = \dfrac{3 \pm27}{2} \begin{cases} \sf x_1 = \dfrac{3 + 27}{2} = \dfrac{30}{2} =15 \\ \\ \sf x_2 = \dfrac{3 - 27}{2} = \dfrac{ - 24}{2} = - 12\end{cases} } }$

Como não é possível que um polígono possua -12 lados, o polígono com 90 diagonais possui 15 lados.

$\large \text{ \sf{Verificac_{\!\!,}\tilde{a}o: } }$

$\large \text{ \sf{90=\dfrac{15(15-3)}{2} } }$

$\large \text{ \sf{90=\dfrac{15\cdot12}{2} } }$

$\large \text{ \sf{90=\dfrac{180}{2} } }$

$\large \sf{90=90\leftarrow verdadeiro }$

$\huge\boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf\dagger \red{ \maltese}~ \blue{alternativa~B}}}}}$