Question

15. Simplifique
(sen 30° + sen 40° + sen 50°)/
(cos 30° + cos 40° + cos 50°)

RESPOSTA: tg 40°​

Answer 1

Resposta:

 0,8391  =  tg 40°

Explicação passo-a-passo:

.

.    Simplificar:

.

.     (sen 30° + sen 40° + sen 50°) / (cos 30° + cos 40° + cos 50°)

. =  (0,5  +  0,643  +  0,766) / (0,866  +  0,766  +  0,643)

. =  1,909 / 2,275

.=   0,8391

.=   tg 40°

.

(Espero ter colaborado)

Answer 2

Para essa tarefa, vamos utilizar duas fórmulas de prostaférese (transformação de soma em produto):

    $\mathsf{sen\,\alpha+sen\,\beta=2\,sen\!\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)cos\!\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{cos\,\alpha+cos\,\beta=2\,cos\!\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)cos\!\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)}$

Calculemos então,

    $\mathsf{sen\,30^\circ+sen\,50^\circ=2\,sen\!\left(\dfrac{30^\circ+50^\circ}{2}\right)cos\!\left(\dfrac{30^\circ-50^\circ}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{\quad\Longleftrightarrow\quad sen\,30^\circ+sen\,50^\circ=2\,sen\!\left(\dfrac{80^\circ}{2}\right)cos\!\left(\dfrac{-20^\circ}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{\quad\Longleftrightarrow\quad sen\,30^\circ+sen\,50^\circ=2\,sen\,40^\circ\,cos(-10^\circ)}$

Some sen 40° aos dois lados, e depois coloque sen 40° em evidência no lado direito:

    $\mathsf{\quad\Longleftrightarrow\quad sen\,30^\circ+sen\,50^\circ+sen\,40^\circ=2\,sen\,40^\circ\,cos(-10^\circ)+sen\,40^\circ}\\\\ \mathsf{\quad\Longleftrightarrow\quad sen\,30^\circ+sen\,40^\circ+sen\,50^\circ=sen\,40^\circ\cdot \left[2\,cos(-10^\circ)+1\right]\qquad (i)}$

Por outro lado,

    $\mathsf{cos\,30^\circ+cos\,50^\circ=2\,cos\!\left(\dfrac{30^\circ+50^\circ}{2}\right)cos\!\left(\dfrac{30^\circ-50^\circ}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad cos\,30^\circ+cos\,50^\circ=2\,cos\!\left(\dfrac{80^\circ}{2}\right)cos\!\left(\dfrac{-20^\circ}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad cos\,30^\circ+cos\,50^\circ=2\,cos\,40^\circ\,cos(-10^\circ)}$

Some cos 40° aos dois lados, e depois coloque cos 40° em evidência no lado direito:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad cos\,30^\circ+cos\,50^\circ+cos\,40^\circ=2\,cos\,40^\circ\,cos(-10^\circ)+cos\,40^\circ}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad cos\,30^\circ+cos\,40^\circ+cos\,50^\circ=cos\,40^\circ\cdot \left[2\,cos(-10^\circ)+1\right]\qquad (ii)}$

Divida (i) por (ii) membro a membro, e você obtém

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad \dfrac{sen\,30^\circ+sen\,40^\circ+sen\,50^\circ}{cos\,30^\circ+cos\,40^\circ+cos\,50^\circ}=\dfrac{sen\,40^\circ\cdot \left[2\,cos(-10^\circ)+1\right]}{cos\,40^\circ\cdot \left[2\,cos(-10^\circ)+1\right]}}$

Simplifique o fator comum [2 cos(−10°) + 1] que aparece no numerador e no denominador do lado direito. Depois disso, é só aplicar a definição de tangente:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{sen\,30^\circ+sen\,40^\circ+sen\,50^\circ}{cos\,30^\circ+cos\,40^\circ+cos\,50^\circ}=\dfrac{sen\,40^\circ}{cos\,40^\circ}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{sen\,30^\circ+sen\,40^\circ+sen\,50^\circ}{cos\,30^\circ+cos\,40^\circ+cos\,50^\circ}=tg\,40^\circ\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

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Bons estudos! :-)