[15 PONTOS] Seja X o subconjunto dos números inteiros dado por {0,1,2,3,4,5}. Quantos pares distintos
(A,B) de subconjuntos A e B de X existem tais que AC
– B = {0,1}, em que AC
denota o
complementar de A em X?
a) 16
b) 14
c) 10
d) 12
e) 18
Soluções para a tarefa
Resposta:
Existem 16 pares distintos.
Explicação passo-a-passo:
O complemento de A em X é o faltante para A se tornar X, logo Ā = X-A
Então temos:
A^C-B = Ā-B = X-A-B = {0,1}
É preciso retirar elementos de X até que sobre {0,1}
Assim, deve-se montar subconjuntos A e B de X com os elementos {2,3,4,5}, onde o número total de elementos usados será sempre igual a 4.
Por exemplo, se A={5}, consequentemente B={2,3,4}, pois {0,1,2,3,4,5}-{5}-{2,3,4}={0,1}
Esse é um caso de combinação, pois {2,3,4}={4,3,2}.
Dessa forma, os casos possíveis são:
- A com 0 elementos e B,4 = C4,0.C4,4 = 1
- A com 1 elemento e B, 3 = C4,1.C3,3 = 4
- A com 2 elementos e B,2 = C4,2.C2,2 = 6
- A com 3 elementos e B,1 = C4,3.C1,1 = 4
- A com 4 elementos e B,0 = C4,4.C4,0 = 1
1 + 4 + 6 + 4 +1 = 16 pares
Bons estudos!