Question

(15 PONTOS) 1) Sendo (m) e (n)  as raízes da equação 2x²-5x+t=3 , sabendo que 1/m + 1/n = 4/3 , determine o valor de t.

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o valor de "t" na equação abaixo:

2x² - 5x + t = 3 ---- passando "3" para o 1º membro, teremos:
2x² - 5x + t-3 = 0.

Além disso, dispõem-se das seguintes informações:

"m" e "n" são as raízes da equação acima, além disso sabe-se que:

1/m + 1/n = 4/3.

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos desenvolver a expressão dada:

1/m + 1/n = 4/3 ---- mmc, no 1º membro, é igual a m*n. Assim, utilizando-o, teremos:

(n*1 + m*1)/mn = 4/3
(n + m)/mn = 4/3  --- ou, o que é a mesma coisa:
(m + n)/mn = 4/3 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
3*(m+n) = 4*mn       . (I)

ii) Agora note uma coisa importante: a soma das raízes de uma equação do 2º grau, da forma ax² + bx + c = 0, com raízes iguais a x' e x'', é dada por:

x' + x'' = -b/a ----- na sua questão temos que "m" e "n" são as raízes, e o coeficiente "b" é igual a (-5), pois é o coeficiente de "x"; e o coeficiente "a" é igual a "2", que é o coeficiente de x². Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

m + n = -(-5)/2
m + n = 5/2     . (II)

ii) Veja também que o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dado por:

x' * x'' = c/a ---- substituindo-se x'*x'' por (m*n) e substituindo-se "c" por "t-3" e "a" por "2", teremos:

m * n = (t-3)/2    . (III)

iii) Agora vamos na expressão (I), que é esta:

3*(m+n) = 4*mn ---- substituindo-se "m+n" por seu valor , conforme visto na expressão (II), e substituindo-se "m*n" por seu valor, conforme visto na expressão (III), teremos:

3*(5/2) = 4*(t-3)/2 ---- ou apenas:
15/2 = 4*(t-3)/2 --- se multiplicarmos ambos os membros por "2", ficaremos apenas com:

15 = 4*(t-3) ----- efetuando o produto indicado no 2º membro, temos;
15 = 4t - 12 --- passando-se "-12" para o 1º membro, teremos:
15 + 12 = 4t
27 = 4t ---ou:
4t = 27
t = 27/4 <--- Este será o valor procurado de "t".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.