Question

15)Dá um suporte aí rapaziada

Answer 1

Temos a seguinte expressão:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: f(x) - g(x) = 32$

A questão também nos diz que:

$\: \: \: \: \: \: f(x) = 4 {}^{x} \: \: e \: \: g(x) = 2 {}^{x + 2}$

Substituindo esses dados na expressão:

${4}^{x} - 2 {}^{x + 2} = 32\:\to\: (2 {}^{2} ) {}^{x} - 2 {}^{x + 2} = 32 \\ 2 {}^{2x} - 2 {}^{x + 2} = 2 {}^{5} \:\to\: (2 {}^{x} ) {}^{2} - 2 {}^{2} .2 {}^{x} = 2 {}^{5}$

Agora vamos fazer uma substituição, ou seja, chamar a expressão $2^x$ de y, isto é,$y = 2^x$:

$(y) {}^{2} - 2 {}^{2} .y = 2 {}^{5} \: \to \: y {}^{2} - 4y = 32 \\ y {}^{2} - 4y - 32 = 0$

Resolvendo essa equação do segundo grau, temos que as suas duas raízes são:

$y_{1} = 8 \: \: e \: \: y_{2} = - 4$

Sabendo disso, vamos pegar essas duas raízes e substituir na expressão que usamos como substituição:

$\:\: \: \:\: \:\: \:\: \:\: \:\: \:2 {}^{x} = y_{1} \: \: e \: \: 2 {}^{x} = y_{2} \\\: \:\: \:\: \:\: \:\: \:\: \:\: \:\: \: 2 {}^{x} = 8 \: \: e \: \: 2 {}^{x} = - 4$

Já podemos descartar a relação $2^x =-4$, pois quando fatorarmos essa expressão, gerará uma base negativa, e como sabemos a restrição de uma equação exponencial é dada por: $a^x = a^y \to x = y, a > 0 \: e \: a \neq 1$.

$2 {}^{x} = 2 {}^{3}\: \to\: x = 3$

• Como a outra solução não existe, vamos adotar apenas a primeira solução, então podemos concluir que a resposta é x = 3.

Espero ter ajudado