Question

14) Verefique se os vetores u=( -2,1/ 2,-4) e v=( -4,1,-8) são paralelos.
15) Determine x tal que u= (2x + 1,5) e v= (2,1) sejam paralelos.

Answer 1

Um vetor u é paralelo a um vetor v se, e somente se, existir um um numero Real k que satisfaça:

$\boxed{\vec{u}~=~k\cdot \vec{v}}$

Seja u=(x₁, y₁, z₁) e v=(x₂ ,y₂ ,z₂), a partir da equação vetorial acima, podemos chegar a:

$\boxed{k~=~\dfrac{x_1}{x_2}~=~\dfrac{y_1}{y_2}~=~\dfrac{z_1}{z_2}}$

Assim, caso as três frações (na sua forma reduzida) sejam iguais, os vetores serão paralelos.

14.

Vamos montar as relações entre as coordenadas de cada vetor:

$\left\begin{array}{c}\Rightarrow~~\dfrac{x_1}{x_2}~=~\dfrac{-2}{-4}~=~\boxed{\dfrac{1}{2}}\\\\\\\Rightarrow~~\dfrac{y_1}{y_2}~=~\dfrac{\frac{1}{2}}{1}~=~\boxed{\dfrac{1}{2}}\\\\\\\Rightarrow~~\dfrac{z_1}{z_2}~=~\dfrac{-4}{-8}~=~\boxed{\dfrac{1}{2}}\end{array}\right\}~~\dfrac{x_1}{x_2}~=~\dfrac{y_1}{y_2}~=~\dfrac{z_1}{z_2}~=~k~=~\dfrac{1}{2}$

Como pudemos ver, k=1/2 satisfaz a equação vetorial que condiciona o paralelismo entre dois vetores, logo os vetores u e v são paralelos.

15.

Agora, neste exercício, queremos "forçar" que os vetores sejam paralelos.

Sabemos então que existirá um k Real tal que:

$k~=~\dfrac{x_1}{x_2}~=~\dfrac{y_1}{y_2}$

Substituindo as coordenadas dos vetores, temos:

$\boxed{k~=~\dfrac{2x+1}{2}~=~\dfrac{5}{1}}$

Pela relação entre y₁/y₂, podemos determinar o valor de k:

$k~=~\dfrac{5}{1}\\\\\boxed{k~=~5}$

Por fim, podemos utilizar o valor de k para determinar o valor de "x" utilizando a relação entre x₁/x₂:

$k~=~\dfrac{x_1}{x_2}\\\\\\5~=~\dfrac{2x+1}{2}\\\\\\2\cdot 5~=~2x+1\\\\\\10~=~2x+1\\\\\\2x~=~10-1\\\\\\\boxed{x~=~\dfrac{9}{2}}\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$