Question

14) (UFC) Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 4x + y – 1 = 0 e que passa pelo ponto de interseção das retas 2x – 5y + 3 = 0 e x – 3y – 7 = 0 é:

MIM AJUDEM

Answer 1

Denominemos esta reta de r.
s: 4x + y - 1 = 0
s: y = - 4x + 1
Como a reta r é perpendicular a s temos que:
ar.as = - 1
ar = - 1
        as
ar = - 1  = 1 
        - 4     4     
Encontremos o ponto de interseção entre as retas.
2x - 5y + 3 = 0 
- 5y = - 2x - 3
y = 2x + 3
          5
x - 3y - 7 = 0
3y = x - 7
y = x - 7
       3
logo,
2x + 3 = x - 7
  5            3
6x + 9 = 5x - 35
 15           15
6x + 9 = 5x - 35
6x - 5x = - 35 - 9
x = - 44
Substituindo na segunda linha, encontramos o valor de y.
y = - 44 - 7 = - 51  = - 17
           3           3
logo o ponto de interseção é (- 44,- 17)
Agora substituímos os valores na equação da reta:
y - yo = ar(x - xo)
y - (- 17) = x - (- 44)
                     4
y + 17 = x  + 11
              4 
y = x  + 11 - 17
      4
y = x  - 6
      4
4y = x - 24
- x + 4y + 24 = 0

Answer 2

reta r: 4x + y - 1 = 0
reta s: ?  (a que queremos determinar)
reta t: 2x - 5y + 3 = 0
reta u: x - 3y - 7 = 0

Determinando o ponto de interseção:

Montando um sistema de equação com as retas t e u:

{ 2x - 5y + 3 = 0
{ x - 3y - 7 = 0

Reescrevemos a primeira equação, multiplicamos a segunda equação por (-2) e a somamos com a primeira:
                          
                            

{ 2x - 5y + 3 = 0
{         y + 17 = 0    ----> este é o resultado da soma das equações

Isolando o y na nova equação, temos:

y  + 17 = 0
y = -17


Substituindo o valor de y na primeira equação:

2x - 5y + 3 = 0
2x - 5.(-17) + 3 = 0
2x + 85 + 3 = 0
2x + 88 = 0
2x = -88
x = -88/2
x = -44

O ponto é: P(-44, -17).


Determinando a equação da reta "s":


Antes primeiro, precisamos saber o coeficiente angular da reta r: 4x + y - 1 = 0.

Reescrevemos a equação isolando o y:

4x + y - 1 = 0
y = -4x + 1

Temos que o coeficiente angular desta reta é -4 (valor que acompanha o x).

Em seguida, para escrevermos a equação da reta s, temos que achar seu coeficiente angular. O coeficiente angular de uma reta perpendicular à outra é o oposto inverso do coeficiente angular da reta que esta é perpendicular.

Veja:

m1 = -4 (coeficiente angular da reta r)

m2 = (coeficiente angular da reta s)

m2 = $-\frac{1}{m1}$ (oposto inverso de m1)

Logo:

m2 = $-\frac{1}{-4}$

m2 = $\frac{1}{4}$


Por fim, montamos a equação da reta s que passa pelo ponto P(-44, -17).

(y - y0) = m.(x - x0)

(y - (-17)) = $\frac{1}{4}$.(x - (-44))

y + 17 = $\frac{1}{4}$.(x + 44)

y + 17 = $\frac{1}{4}$x + 11

$\frac{1}{4}$x + 11 - y - 17 = 0

$\frac{1}{4}$x - y - 6 = 0 (multiplicando tudo por 4)

x - 4y - 24 = 0


Resposta:

A equação da reta s, que é perpendicular à reta r é:

x - 4y - 24 = 0