Matemática, perguntado por patriciasilva7785, 6 meses atrás

14) Seja H um subconjunto não vazio de Z. Demonstre que H é um subgrupo de (Z, +) se, e somente se, existe m ∈ Z com m ≥ 0 tal que H = {mt | t ∈ Z}

Soluções para a tarefa

Respondido por Zadie

Inicialmente, relembremos o que é um grupo.

Grupo

Definição: Um grupo é um par $(G,\ast)$ em que G é um conjunto não vazio e $\ast$ é uma operação binária em G possuindo as seguintes propriedades para quaisquer $x,\,y,\,z\in G:$

$\large\begin{array}{l}(i)\,(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z);\\\\(ii)\,\exists\,e\in G:\,x\ast e=e\ast x=x;\\\\(iii)\,\exists\,w\in G:w\ast x=x\ast w=e.\end{array}$

Observações:

Usando a notação multiplicativa, pode-se escrever $w=x^{-1}.$
Quando não há possibilidade de confusão, pode-se representar o grupo $(G,\,\ast)$ apenas por G.

Por exemplo, o conjunto dos números inteiros munido da adição é um grupo.

Outro exemplo: o conjunto de todos os movimentos possíveis em um cubo mágico forma um grupo. A operação deste grupo é a seguinte. Sejam $M_1$ e $M_2$ dois movimentos possíveis. Então $M_1\ast M_2$ é o movimento $M_1$ seguido do $M_2.$ Essa operação possui todas as três propriedades mencionadas.

Subgrupos

Um subconjunto H não vazio de um grupo G é chamado subgrupo de G se H ainda tem a estrutura de grupo munido das operações de G. Indica-se isso pela notação $H\leq G.$

Proposição: Um subconjunto H não vazio de G é um subgrupo de G se, e somente se (usando notação multiplicativa) para quaisquer $x,\,y\in H$ valem:

(i) $x\cdot y\in H;$

(ii) $x^{-1}\in H.$

______

Apresentadas as definições, vamos à demonstração pedida.

Veja que esta questão trata-se de uma equivalência. Então precisamos mostrar a ''ida'' $(\Rightarrow)$ e a "volta" $(\Leftarrow).$

Demonstração

$(\Rightarrow)$ Suponha que $H\leq\mathbb{Z}.$ Se $H=\{0\}$ e m = 0, então $H=\{0\cdot t\mid t\in\mathbb{Z}\}.$ Se $H\neq\{0\},$ então existe $t\in H$ não nulo. Como $t$ é subgrupo, então $-t\in H.$ Assim sendo, ou $t$ ou $-t$ é positivo, ou seja, $H$ contém no mínimo um inteiro positivo. Pelo Princípio da Boa Ordem (PBO), o conjunto de todos os inteiros positivos de $H$ possui um menor elemento. Seja $m$ tal elemento. Agora, tome algum múltiplo $mt$ de $m.$ Por um lado, se $t>0,$ então $mt\in H.$ Isso pode ser provado usando indução sobre $t.$ Veja:

Passo base: $m\cdot1\in H.$

Passo indutivo: Suponha que $m\cdot(t-1) \in H.$ Desse modo, tem-se $m\cdot(t-1+1)=m(t-1)+m \in H,$ já que $m\cdot(t-1)$ e $m$ são elementos de $H.$

Por outro lado, se $t<0,$ então $-t>0,$ Assim, pode-se escrever $m\cdot t= -m\cdot(-t).$ Como $H$ é subgrupo e $m\in H,$ então $-m\in H.$ Logo, $-m\cdot(-t).$

Perceba que, em qualquer dos dois casos, $mt\in H,$ isto é, $m\mathbb{Z}\subset H.$ Falta provar que $H\subset m\mathbb{Z}.$ Para tanto, seja $h\in H.$ Dividindo $h$ por $m,$ existem $p,\,q\in\mathbb{Z}$ tais que $h=mp+q$ com $0<q<m.$ Dessa maneira, temos $q=h-mp=h+{m(-p) \in H},$ uma vez que $h$ e $m(-p)$ pertencem a $H.$

Se $q=0,$ então $h=mp$ e, por conseguinte, $h\in m\mathbb{Z}.$

Se $q\neq 0,$ então $q$ é um inteiro positivo menor do que $m.$ Isso é uma contradição, já que assumimos $m$ como o menor inteiro positivo em $H.$

Portanto, só resta a possibilidade $q=0$ e, consequentemente, $H\subset m\mathbb{Z}$

Como provamos a dupla inclusão $m\mathbb{Z}\subset H$ e $H\subset m\mathbb{Z},$ deduzimos que: $\Large\boxed{H=m\mathbb{Z}=\{mt\mid t\in\mathbb{Z}\}.}$

$(\Leftarrow)$ Suponha que $H=\{mt\mid t\in\mathbb{Z}\}.$ Sejam $x,\,y\in H.$ Então existem $t_1,\,t_2\in\mathbb{Z}$ tais que $x=mt_1$ e $y=mt_2.$ Assim, vem que: