Question

14. Num triângulo retângulo ABC, a bissetriz do ângulo externo
em A intercepta a reta que contém a hipotenusa BC em M.
Demonstrar que o ângulo AMB é igual à semidiferença dos
ângulos agudos do triângulo.
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Answer 1

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⠀⠀☞ Pela propriedade dos triângulos retângulos terem sempre 180º na soma dos ângulos internos e sendo a soma de ângulos suplementares também sempre igual à 180º pudemos demonstrar que o ângulo AMB é igual à semidiferença dos ângulos agudos do triângulo. ✅

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⠀⠀ Vamos inicialmente desenhar o nosso triângulo (as imagens a seguir não são visualizáveis pelo App Brainly, experimente acessar a resposta pelo navegador do seu celular):

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$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\line(1,0){9.7}}\put(0,0){\line(2,3){3}}\put(3,4.5){\line(3,-2){6.7}}\bezier(0.45,0.65)(0.8,0.6)(0.9,0)\put(0.4,0.2){ \gamma }\bezier(8.7,0.65)(8.5,0.7)(8.45,0)\put(8.7,0.2){ \beta }\put(2.75,4.1){\line(3,-2){0.4}}\put(3.15,3.85){\line(2,3){0.25}}\put(3.5,4.5){A}\put(-0.6,0){B}\put(9.9,0){C}\put(3.1,4.15){\circle*{0.1}}\put(7,5.7){\dashbox{0.1}(5,1){\text{\Large \sf \gamma + \beta + 90^{\circ}= 180^{\circ} }}}\put(8.5,5){\LARGE \downdownarrows }\put(10.5,5){\LARGE \downdownarrows }\put(7.5,3.5){\dashbox{0.1}(4,1){\text{\Large \sf \gamma + \beta = 90^{\circ} }}}\end{picture}$

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⠀⠀Da soma interna dos ângulos do triângulo ABC podemos extraímos que:

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⠀⠀$\Large\gray{\boxed{\sf\blue{~~I)~\dfrac{\gamma + \beta}{2} = \dfrac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}~~~}}}$

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⠀⠀Continuemos nossa análise geométrica:

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$\setlength{\unitlength}{0.55cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(-8.2,0){\line(1,0){17.9}}\put(0,0){\line(2,3){3}}\put(3,4.5){\line(3,-2){6.7}}\bezier(0.45,0.65)(0.8,0.6)(0.9,0)\put(1,0.2){ \gamma }\bezier(8.7,0.65)(8.5,0.7)(8.45,0)\put(8,0.2){ \beta }\put(2.57,3.88){\line(3,-2){0.7}}\put(3.2,3.45){\line(2,3){0.43}}\put(3.15,4){\circle*{0.1}}\put(3.5,4.5){A}\put(-0.3,-0.6){C}\put(9.9,0){B}\bezier{10}(3,4.48)(2.3,4.95)(2,5.15)\put(-8.2,0){\line(5,2){11.1}}\put(-9,0){M}\bezier(-6.45,0.65)(-6.1,0.6)(-5.9,0)\put(-5.5,0.2){ \delta }\bezier(0.45,0.65)(-0.5,0.7)(-0.6,0)\put(-1.2,0.2){ \omega }\put(1.2,3.2){ \rho }\bezier(1.6,3.9)(1.7,3.5)(2.3,3.5)\put(6.5,7.5){\dashbox{0.1}(7.5,1.5){\text{\Large \sf \delta + \omega + \rho = 180^{\circ} }}}\put(6.5,4.5){\dashbox{0.1}(7.5,1.5){\text{\Large \sf \delta = 180^{\circ} - \omega - \rho }}}\put(8.5,6.5){\LARGE \downdownarrows }\put(11.5,6.5){\LARGE \downdownarrows }\end{picture}$

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⠀⠀(✋ Observe que caso tivéssemos um triângulo que além de retângulo também fosse isósceles essa propriedade não se verificaria pois a bissetriz do ângulo externo em A seria paralela à reta que contém a hipotenusa BC e nunca então a interceptaria).

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⠀⠀Sendo o ângulo externo em A o ângulo suplementar de 90º, temos que ele valerá  180º - 90º = 90º e sua bissetriz valerá 90º/2 = 45º. Com isso temos que $\sf \rho = 45^{\circ}$, o que de I) extraímos a seguinte relação:

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⠀⠀$\huge\gray{\boxed{\sf\blue{~~II)~\rho = \dfrac{\gamma + \beta}{2}~~}}}$

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⠀⠀Tendo constatado também que $\sf \omega$ é suplementar à $\sf \gamma$, temos então a seguinte relação:

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⠀⠀$\LARGE\gray{\boxed{\sf\blue{~~III)~\omega = 180^{\circ} - \gamma~~}}}$

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⠀⠀Temos finalmente pela soma dos ângulos internos do triângulo AMB que:

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$\LARGE\blue{\sf \delta + \omega + \rho = 180^{\circ}}$

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$\LARGE\blue{\sf \delta = 180^{\circ} - \rho - \omega}$

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$\Large\blue{\text{ \sf \delta = 180^{\circ} - \dfrac{\overbrace{\gamma + \beta}^{II)}}{2} - (\overbrace{180^{\circ} - \gamma}^{III)}) }}$

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$\Large\blue{\sf \delta = \diagup\!\!\!\!{180}^{\circ} - \dfrac{\gamma + \beta}{2} - \diagup\!\!\!\!{180}^{\circ} + \gamma }$

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$\LARGE\blue{\sf \delta = \dfrac{2\gamma}{2} - \dfrac{\gamma + \beta}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf \delta = \dfrac{2\gamma - \gamma - \beta}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf \delta = \dfrac{\gamma - \beta}{2}~~~~\therefore}$

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{\delta}~\pink{=}~\blue{ \dfrac{\gamma - \beta}{2} }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Por que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual à 180º?

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/38294313

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$