Question

14. Flávia, aluna do 3º ano do Ensino Médio, em uma aula de
matemática, traçou os eixos x e y do sistema cartesiano ortogonal na
malha abaixo e, em seguida, marcou os pontos A (-3, 1), B (0, 4),
C (5, 4) e D (-2, -3). Se os quadradinhos da malha têm lado unitário, qual
é a medida da área do quadrilátero cujos vértices são os pontos A, B, C
e D do plano cartesiano criado por Flávia?
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Answer 1

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⠀⠀☞ Por um método geométrico encontramos que a área do quadrilátero dados seus vértices é de 25 u.a., o que nos leva à opção e). ✅

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• ⠀⠀ Para resolver por um método mais rápido e algébrico (matriz) confira o link ao final da explicação.

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⠀⠀Vamos inicialmente visualizar os pontos e a figura formada pelo  sistema cartesiano:

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$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\put(-1.50,0.50){\circle*{0.13}}\put(-1.25,0.75){ \sf P_{A} }\put(0.0,2.0){\circle*{0.13}}\put(0.25,2.25){ \sf P_{B} }\bezier{15}(-1.50,0.50)(-0.75,0.50)(0,0.50)\bezier{5}(-1.50,0.50)(-1.50,0.25)(-1.50,0)\bezier(-1.50,0.50)(-0.75,1.25)(0.0,2.0)\put(2.50,2.0){\circle*{0.13}}\put(2.75,2.25){ \sf P_{C} }\put(-1.0,-1.50){\circle*{0.13}}\put(-0.75,-1.25){ \sf P_{D} }\bezier{25}(2.50,2.0)(1.25,2.0)(0,2.0)\bezier{10}(-1.0,-1.50)(-0.50,-1.50)(0,-1.50)\bezier{20}(2.50,2.0)(2.50,1.0)(2.50,0)\bezier{15}(-1.0,-1.50)(-1.0,-0.75)(-1.0,0)\bezier(2.50,2.0)(0.75,0.25)(-1.0,-1.50)\bezier(-1.50,0.50)(-1.25,-0.50)(-1.0,-1.50)\bezier(0.0,2.0)(1.25,2.0)(2.50,2.0)\end{picture}$

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$\footnotesize\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )

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⠀⠀Uma técnica eficiente na geometria é ver o que não está ali. Para aplicarmos este método, completaremos um grande retângulo e em seguida poderemos subtrair os 3 triângulos que foram adicionados em excesso:

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$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\put(-1.50,0.50){\circle*{0.13}}\put(-1.25,0.75){ \sf P_{A} }\put(0.0,2.0){\circle*{0.13}}\put(0.25,2.25){ \sf P_{B} }\bezier{15}(-1.50,0.50)(-0.75,0.50)(0,0.50)\bezier{5}(-1.50,0.50)(-1.50,0.25)(-1.50,0)\bezier(-1.50,0.50)(-0.75,1.25)(0.0,2.0)\put(2.50,2.0){\circle*{0.13}}\put(2.75,2.25){ \sf P_{C} }\put(-1.0,-1.50){\circle*{0.13}}\put(-0.75,-1.25){ \sf P_{D} }\bezier{25}(2.50,2.0)(1.25,2.0)(0,2.0)\bezier{10}(-1.0,-1.50)(-0.50,-1.50)(0,-1.50)\bezier{20}(2.50,2.0)(2.50,1.0)(2.50,0)\bezier{15}(-1.0,-1.50)(-1.0,-0.75)(-1.0,0)\bezier(2.50,2.0)(0.75,0.25)(-1.0,-1.50)\bezier(0.0,2.0)(1.25,2.0)(2.50,2.0)\bezier{30}(2.50,2.0)(0.50,2.0)(-1.50,2.0)\bezier{30}(-1.50,2.0)(-1.50,0.25)(-1.50,-1.50)\bezier{30}(-1.50,-1.50)(0.50,-1.50)(2.50,-1.50)\bezier{30}(2.50,-1.50)(2.50,0.25)(2.50,2.0)\bezier(-1.50,0.50)(-1.25,-0.50)(-1.0,-1.50)\put(-1.2,-1){\circle{0.5}}\put(-1.3,-1.1){1}\put(-1.2,1.5){\circle{0.5}}\put(-1.3,1.4){2}\put(2,-1.2){\circle{0.5}}\put(1.9,-1.3){3}\end{picture}$

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$\footnotesize\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )

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⠀⠀Temos que a área total do nosso retângulo será o produto da base |xc - xa| pela altura |yc - yd|, que é igual a:

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$\LARGE\blue{\sf |5 - (-3)| \cdot |4 - (-3)|}$

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$\LARGE\blue{\sf = 8 \cdot 7}$

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$\LARGE\blue{\sf = 56~u.a.}$

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⠀⠀A área total do nosso triângulo 1 será metade do produto da base |xd - xa| pela altura |yd - ya|:

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{|-2 - (-3)| \cdot |-3 - 1|}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{1 \cdot 4}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{4}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf = 2~u.a.}$

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⠀⠀A área do nosso triângulo 2 será metade do produto da base |xa| pela altura |yb - ya|:

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{|-3| \cdot |4 - 1|}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{3 \cdot 3}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{9}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf = 4,5~u.a.}$

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⠀⠀A área do nosso triângulo 3 será metade do produto da base |xc - xd| pela altura |yc - yd|:

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{|5 - (-2)| \cdot |-3 - 4|}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{7 \cdot 7}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{49}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf = 24,5~u.a.}$

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⠀⠀Temos, por fim, que a área delimitada pelos pontos A, B, C e D é de:

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$\LARGE\blue{\sf A_T = 56 - 2 - 4,5 - 24,5}$

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$\LARGE\blue{\sf A_T = 25~u.a.}$

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\red{e)}~\blue{ 25 }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Outro método (pseudo-determinante de matriz) para encontrar a área de um polígono dados seus vértices:

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/4717722

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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⠀⠀⠀⠀☕ Bons estudos.

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(Dúvidas nos comentários) ☄

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❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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Absque sudore et labore nullum opus perfectum est.