Question

13) - (U.F. Uberlândia). Com os algarismos 1; 2; 3; 5; 6; 8; e 9, quantos números impares, sem repetição, menores do que 2.000 podemos formar ??

Answer 1

Olá Vitor, boa noite!

 Apesar de COMBINATÓRIA não ser dos meus assuntos preferidos, vou tentar!

 Fiz assim: separei a quantidade de números ímpares em quatro casos, em que cada caso é determinado pela quantidade de algarismos. Veja:

CASO I: um dígito.

d: escolher um número ímpar dentre os algarismos 1, 2, 3, 5, 6, 8 e 9.

Portanto, a cardinalidade desta decisão é 4 (1, 3, 5, 9).


CASO II: dois dígitos. P1 P2 (P1 é a posição 1 e P2 é a posição 2)

d_1: escolher um número ímpar dentre os algarismos 1, 2, 3, 5, 6, 8 e 9 para P2;

d_2: escolher um número dentre os algarismos 1, 2, 3, 5, 6, 8 e 9 para P1, todavia, diferente do escolhido em P2. 

Portanto, a cardinalidade de d_1 é 4 (1, 3, 5, 9) e a cardinalidade de d_2 é 6 (total de dígitos menos a escolha feita em d_1).

 Então, pelo Princípio Fundamental da Contagem temos:

$\\ \mathsf{4 \cdot 6 =} \\\\ \boxed{24}$


CASO III: três dígitos. P1 P2 P3

d_1: escolher um número ímpar dentre os algarismos 1, 2, 3, 5, 6, 8 e 9 para P3;

d_2: escolher um número dentre os algarismos 1, 2, 3, 5, 6, 8 e 9 para P2, todavia, diferente do escolhido em P3;

d_3: escolher um número dentre os algarismos 1, 2, 3, 5, 6, 8 e 9 para P1, todavia, diferente do escolhido em P3 e P2. 

Portanto, a cardinalidade de d_1 é 4; a cardinalidade de d_2 é 6 e a cardinalidade de d_3 é 5.

 Daí, pelo PFC, temos:

$\\ \mathsf{4 \cdot 6 \cdot 5 =} \\\\ \boxed{120}$


CASO IV: quatro dígitos. P1 P2 P3 P4

d_1: colocar o número UM em P1;

d_2: escolher um número ímpar dentre os algarismos 1, 2, 3, 5, 6, 8 e 9 para P4, entretanto, diferente do colocado em d_1; 

d_3: escolher um número dentre os algarismos 1, 2, 3, 5, 6, 8 e 9 para P2, mas, que seja distinto de d_1 e d_2;

d_4: escolher um número dentre os algarismos 1, 2, 3, 5, 6, 8 e 9 para P3 de modo que seja diferente de d_1, d_2 e d_3. 

Portanto, a cardinalidade de d_1 é 1; a cardinalidade de d_2 é 3; a cardinalidade de d_3 é 5 e a cardinalidade de d_4 é 4.

 Portanto, pelo PFC:

$\\ \mathsf{1\cdot3\cdot5\cdot4=} \\\\ \boxed{60}$


 Por fim, pelo princípio aditivo, concluímos que:

$\\ \displaystyle \textsf{caso I + caso II + caso III + caso IV =} \\\\ \mathsf{4 + 24 + 120 + 60 =} \\\\ \boxed{\mathsf{208}}$


 Se não errei nada, então é isso [risos]!