Question

13. Simplifique os radicals apresentados a seguir.
a) raiz quadrada de 196
b) raiz quadrada de 225
c) raiz quadrada de 216 elevado a 3
d) raiz quadrada de -8 elevado a 3
e)raiz quadrada de 256 elevado a 4​

Answer 1

Resposta:

a) 14

b) 15

c) $6^{4} *\sqrt{6}$

d) impossível resolver

e) $2^{16}$

Explicação passo-a-passo:

Enunciado e Resolução:

Simplifique os radicais apresentados a seguir.

a) raiz quadrada de 196

$\sqrt{196} =\sqrt{14^{2} } =14$

b) raiz quadrada de 225

$\sqrt{225} =\sqrt{15^{2} } =15$

c) raiz quadrada de 216 elevado a 3

$\sqrt{216^{3} } = ?$

Decompor em fatores primos o número 216

216 / 2

108 / 2

54  /2

27  / 3

9   / 3

3  / 3

216 = 2³ * 3³

$\sqrt{216^{3} } =\sqrt{(2^{3})^3*(3^{3})^3 } =\sqrt{2^{9}*3^9 }$

Observação 1 →Quando temos potência de potência como em:

$(2^{3} )^3=2^{3*3} =2^{9}$

ou em

$(3^{3} )^3=3^{3*3} =3^{9}$

A regra é, manter a base da potência e multiplicar os expoentes.

Para simplificar vou separar cada potência em produtos de potência que tenham a mesma base e expoente 2, até onde for possível.

$2^{9} =2^{2} *2^{2} *2^{2} *2^{2} *2^{1}$

De seguida vou escrever raízes quadradas para cada um destes elementos deste produto.

O mesmo farei para $3^{9}$

$\sqrt{216^{3} } =\sqrt{2^{9}*3^9 }=\sqrt{2^{2} *2^{2}*2^{2} *2^{2} *2*3^{2}*3^{2} *3^{2}*3^{2} *3^{1} }$

$=\sqrt{2^{2} } *\sqrt{2^{2} } *\sqrt{2^{2} } *\sqrt{2^{2} } *\sqrt{2} *\sqrt{3^{2} } *\sqrt{3^{2} } *\sqrt{3^{2} } *\sqrt{3^{2}} *\sqrt{3}$

Repara agora que tem várias raízes quadradas de um valor elevado ao quadrado.

Observação 2 → Nestes casos como a raiz é ao quadrado ( tem índice 2) e a potência dentro do radical tem expoente 2, o que acontece é que a exponenciação e a radiciação se cancelam por serem operações inversa uma da outra, quando índice = expoente.

Deste modo, por exemplo :

$\sqrt{2^{2} } =2$              e          $\sqrt{3^{2} } =3$

Aplicando estes conhecimentos vamos obter:

$=2*2*2 *2 *\sqrt{2} *3 *3 *3*3*\sqrt{3}=16\sqrt{2} *81\sqrt{3} =1296*2^{2} *\sqrt{3}$

ou

$2^{4} *3^{4} *\sqrt{2} *\sqrt{3}$

ou

$(2*3)^{4} *\sqrt{2*3}$

ou

$6^{4} *\sqrt{6}$

Observação 3 → quando temos multiplicação de potências com bases diferentes e expoente igual, mantém-se o expoente e multiplicam-se as bases.

Exemplo : $2^{4} *3^{4} =(2*3)^{4} =6^{4}$

Observação 4 → quando multiplicamos raízes com o mesmo índice, mantemos o índice e multiplicamos o que está dentro da raiz.

Exemplo: $\sqrt{2} *\sqrt{3} =\sqrt{(2*3)} =\sqrt{6}$

Observação 5 → só é permitido multiplicar raízes que tenham o mesmo índice.

Aqui são ambas raízes quadradas, logo ambas têm o índice 2.

Observação 6 → quando se tem raiz quadrada de 3, o índice é 2, embora não esteja lá escrito.

É uma convenção matemática. Os matemáticos , para simplificar a escrita simbólica matemática , concordaram em fazer assim.

d) raiz quadrada de - 8 elevado a 3

$\sqrt{(-8)^{3} } =\sqrt{((-2)^{3})^3 } =\sqrt{(-2)^{9} } =\sqrt{-512}$

Impossível resolver.

Observação 7 → Não se pode calcular, nos números reais |R, raízes de índice par e radicando negativo.

Exemplo : $\sqrt{-512}$  não existe em |R

e)raiz quadrada de 256 elevado a 4​

   

Escrever  $\sqrt{256^{4} } =(\sqrt{256}) ^{4} =16^{4} =(2^{4} )^4 =2^{16}$

Verificação :

$\sqrt{256^{4} } =65536$

$2^{16} =65536$

verificado e correto

Bom estudo.

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Sinais:  ( * ) multiplicação    ( / )  divisão