Question

13. O peso chileno é a moeda oficial do Chile desde 1975. Algumas moedas desse país têm o formato

semelhante a polígonos. Por exemplo, a moeda de 5 pesos chilenos tem o formato do polígono abaixo:

Uma das faces dessa moeda retrata o militar e estadista chileno Bernardo O'Higgins Riquelme, que foi

considerado o pai da pátria por participar do movimento de Independência do país.

Considere que o polígono regular ABCDEFGHA abaixo represente um esboço da moeda de 5 pesos

chilenos, inscrito numa circunferência de centro O e de raio 5 cm.

É CORRETO afirmar que a área do triângulo BRO, em cm2

, é:

Answer 1

Resposta: 25/4

O ângulo AÔB é o ângulo cêntrico do octógono regular (ângulo com vértice no centro e lados passando por vértices consecutivos do octógono), com isso sabemos que o ângulo cêntrico mede (4 retos)/8 ou (360 graus)/8 = 45 graus. Sabemos que os segmentos OA = OB = 5 cm (raio da circunferência), com isso os ângulos OÂB e OBA são congruentes e medem (180-45)/2 = 67,5 graus. O triângulo ABH é isóceles (pois tem dois lados congruentes) e o ângulo HÂB é um dos ângulos internos do octógono regular, que por sua vez é dado por [180(8-2)]/8 = 135 graus. Sabemos que os ângulos (do triângulo ABH) ABH = AHB = (180-135)/2 = 22,5 graus. Se o ângulo ABH = ABR = 22,5 graus e o ângulo OÂB = RÂB = 67,5 graus, então o ângulo ARB =  180 graus - (67,5+22,5) graus = 180 graus - 90 graus = 90 graus. Com isso provamos que o triângulo BRO é retângulo isósceles (pois um de seus ângulos é o ângulo cêntrico do octógono, que mede 45 graus) e de hipotenusa igual  a 5 cm (a hipotenusa é o raio do circuncírculo).

Se o triângulo é retângulo isósceles de hipotenusa 5 cm, logo os seus catetos (iguais) medem [5/raiz de(2)], acarretando uma área de (25/2)/2 = 25/4.

Abraços!!