Question

13. Numa estrada há 2 acidentes para cada 100 km. Qual a probabilidade de que em: a) 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes? 87,53% b) 300 km ocorram 5 acidentes? 16,06%.

Answer 1

=> Estamos perante 2 exercícios de Distribuição de Poisson

QUESTÃO - a)  em 250 km ocorram PELO MENOS 3 acidentes

...Por outras palavras pretende saber-se a probabilidade de ocorrerem 3, 4, 5, 6, ...."n" acidentes ....ou seja, pretende saber-se a probabilidade P(x ≥ 3)

=> Isto implica que só NÃO INTERESSA  a probabilidade de ocorrer 0, 1, ou 2 acidentes.

O que nos remete para o conceito de Probabilidade Total (ou conjunto complementar), pois:

P(x ≥ 3) = 1 - [ P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)]  

...como temos 2 acidentes a cada 100 km (1 a cada 50km) ..donde será "esperado" um número de 5 acidente para os 250 km ..donde resulta:

--> uma Distribuição de Poisson de parâmetro λ = 5 e de x = 0, X = 1 e X = 2

Resolvendo:

considerando (e) = constante de Euler .....e substituindo todos os parâmetros

P(x ≥ 3) = 1 - [ P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)]  

P(x ≥ 3) = 1 - [ (e⁽⁻⁵⁾ . 5⁰/0!) + (e⁽⁻⁵⁾ . 5¹/1!) + (e⁽⁻⁵⁾ . 5²/2!)]  

P(x ≥ 3) = 1 - [ (2,718281828⁽⁻⁵⁾ . 5⁰/0!) + (2,718281828⁽⁻⁵⁾ . 5¹/1!) + (2,718281828⁽⁻⁵⁾ . 5²/2!)]

P(x ≥ 3) = 1 - [ (0,006737947) + (0,006737947. 5/1) + (0,006737947.25/2)]

P(x ≥ 3) = 1 - [ (0,006737947) + (0,033689735) + (0,084224338  )]

P(x ≥ 3) = 1 - (0,12465202)

P(x ≥ 3) = 0,87534798 ...ou P(x ≥ 3) = 87,53% (valor aproximado)

QUESTÃO - b) em 300 km ocorram 5 acidentes

--> temos uma Distribuição de Poisson de parâmetro λ = 6 e de x = 5

Assim

P(5) = [e^(-λ) . λ^(x)]/x!

considerando (e) = constante de Euler .....e substituindo todos os parâmetros

P(5) = (2,718281828⁽⁻⁶⁾ . 6⁵)/5!

P(5) = (0,002478752  . 7776)/120

P(5) = 19,27477693/120

P(5) = 0,160623141  ...ou P(5) = 16,06% <= Probabilidade pedida

Espero ter ajudado