Question

13. Determine, se possível, uma equação geral do plano determinado pelas
retas r e s, nos casos a seguir:

Answer 1

Utilizando noções de vetor normal de plano e intersecção de retas, temos que a equação do nosso plano é:m$2x-z+1=0$

Explicação passo-a-passo:

Então temos as seguintes retas:

R:

x = 1 + h

y = 2

z = 3 + 2h

S:

x = 2t

y = 3

z = 1 + 4t

Para encontrarmos um plano onde estas duas retas passam, precisamos de três coisas, um vetor para cada plano e um ponto de intersecção.

Os vetores nos já temos:

R: v = (1,0,2)

S: u = (2,0,4)

Mas note que é impossível encontrar um ponto de intersecção, pois estas duas retas nunca se encontram, pois o y dos dois é constante e por isso nunca são iguais.

Porém podemos ver que estas retas são paralelas por u = 2v, então podemos fazer um plano que pega as duas retas mesma elas não se cruzando, para isso basta defirnirmos um vetor relativo entre os dois em t=h=0:

R:

x=1

y=2

z=3

S:

x=0

y=3

z=1

Fazendo esta diferença:

w = (1,2,3) - (0,3,1) = (1,-1,2)

E usando este vetor com o vetor de uma das retas, podemos criar a o vetor normal do plano:

$n=v\times w=\left[\begin{array}{ccc}1&0&2\\1&-1&2\\i&j&3\end{array}\right]=(2,0,-1)$

Tendo este vetor normal e qualquer ponto que a reta R passar (escolhi o ponto P = (1,2,3)), podemos criar o plano:

$ax+by+cz+d=0$

$2x-z+d=0$

Substituindo o ponto P, no plano iremos descobrir d:

$2.1-3+d=0$

$-1+d=0$

$d=1$

Assim a equação do nosso plano é de:

$2x-z+1=0$