Question

13) Considere as retas k2x − y +3=0 e (3k + 4)x − y − 5=0.
(a) Determinar k para que elas sejam paralelas;
(b) Determinar k para que elas sejam concorrentes;

Answer 1

a) Se as retas são paralelas, então suas inclinações são iguais.

Reta I:

$k^2x-y+3=0\\y=k^2x+3$ 

 Reta II:

$(3k+4)x-y-5=0\\y=(3k+4)x-5$ 

 Igualando o coeficiente angular,

$k^2=3k+4\\k^2-3k-4=0\\(k-4)(k+1)=0\\\boxed{k=4}\\\boxed{k=-1}$ 
 
 

b) As retas serão concorrentes se possuírem um ponto comum; e, para que isso ocorra devemos resolver o sistema formado por elas e encontrar um valor para "x" e outro para "y". Segue que,

$\begin{cases}k^2x-y=-3\;\;\times(-1\\(3k+4)x-y=5\\\end{cases}\\\\\begin{cases}-k^2x+y=3\\(3k+4)x-y=5\\\\\end{cases}\\----------\\-k^2x+(3k+4)x=8\\\\x(-k^2+3k+4)x=8\\\\x=\frac{8}{-k^2+3k+4}$
 
 Se, o denominador for nulo, então não existirá "x", daí:

$-k^2+3k+4\neq0\\k^2-3k-4\neq0\\(k-4)(k+1)\neq0\\\boxed{k\neq4}\\\boxed{k\neq-1}$