Question

13. A média aritmética das idades de um grupo de 10 pessoas é
31 anos. Com a saida de uma pessoa do grupo, a nova média
passou a ser 30 anos. Qual a idade dessa pessoa?
a) 20 anos
d) 50 anos
b) 30 anos
e) 60 anos
40 anos

Answer 1

A média aritmética $\bar{x}$ da idade de um grupo de $\bold{n}$ pessoas, cada uma com idade $x_i$, é dada por 

$\bar{x} = \frac{\sum x_i }{n}$

isto é, a média é a soma da idade das pessoas dividido pelo número de pessoas. Sabemos que, inicialmente, o número de pessoas era n = 10, e que a média de suas idades era $\bar{x_1} = 31$, Não sabemos a soma das idades das pessoas, mas podemos descobri-la:

$31 = \frac{\sum x_i }{10} \ \rightarrow \sum x_i = 31 \times 10 = 310$

Portanto, a soma das idades das 10 pessoas que inicialmente compunham o grupo era igual a 310. 

Consideremos, agora, que uma dessas pessoas deixou o grupo. O novo número de indivíduos no grupo é $n = 10-1= 9$ pessoas. De acordo com o enunciado, a nova média da idade das pessoas é $\bar{x_2} = 30$ anos. Finalmente, a nova soma das idades das pessoas é a soma das idades antes de a pessoa abandonar o grupo, $\sum{x_i}$, menos a idade $k$ da pessoa que abandonou o grupo, certo? Então, temos

$\bar{x_2} = \frac{\sum{x_i} -k}{n-1} \\ \\ \therefore 30 = \frac{310-k}{10-1} \\ \therefore 30 = \frac{310-k}{9} \\ \therefore 30 \times 9 = 310-k \\ \therefore 270 = 310-k \\ \therefore 270-310=-40=-k \\ \therefore k=40 \ \text{anos}$

Sendo assim, a pessoa que abandonou o grupo tinha 40 anos.