Question

12. Uma haste de 30,0 cm de comprimento tem densidade linear (massa por unidade de comprimento) definido por: λ= 50,0 + 20,0x, em que x é a distância medida a partir de uma extremidade, e λ é expressa em gramas por metro.
(a) Qual é a massa da haste? (b) A que distância da extremidade está seu centro de massa da haste?

Answer 1

Observe a figura anexada. Nela temos a nossa haste repousada sobre o eixo x de um sistema de coordenadas cartesianas. Vamos considerar que a espessura da haste na direção y é desprezível.

A barra está orientada de forma que possamos utilizar a função da densidade corretamente.

A massa da barra é dada pelo produto da densidade linear pelo comprimento. Acontece que a barra não é homogênea. A densidade depende do comprimento.

Considere um pequeno elemento da barra, de comprimento $dx$. Qual a massa desse elemento?

Teremos um pequeno elemento de massa $dm=\lambda dx$ .

A massa total da barra pode ser obtida integrando ambos os lados, sendo que $x$ varia entre $0$ e $0.3$ metros. (Leve em consideração que a densidade é dada em gramas por metro, então precisamos nos atentar as unidades.).

$\displaystyle{\int_0^M dm = \int_0^{0.3} \lambda dx}$

$\displaystyle{M= \int_0^{0.3} (50 + 20 x)dx}$

$\displaystyle{M= \left[50x + 10 x^2\right]_0^{0.3}}$

$M=50\cdot 0.3 + 10 \cdot 0.3^2=15+0.9=15.9$

Logo a massa da haste é de 15.9 gramas, o que responde o item A.

Para achar a coordenada x do centro de massa usamos a seguinte relação:

$\displaystyle{x_{CM}=\frac{\int x dm}{\int dm}}$

A parte de baixo  $\int dm$  é o que acabamos de calcular. Basta calcular $\int x dm$ :

$\displaystyle{dm=\lambda dx}$

$\displaystyle{\int x dm=\int x\lambda dx}$

$\displaystyle{\int x\lambda dx=\int_0^{0.3}(50x +20x^2)dx}$

$\displaystyle{\int_0^{0.3}(50x +20x^2)dx=\left[25x^2+\frac{20}{3}x^3\right]_0^{0.3}}$

$\displaystyle{\left[25x^2+\frac{20}{3}x^3\right]_0^{0.3}=25\cdot0.3^2+\frac{20}{3}0.3^3=2.25+0.18=2.43}$

Temos então que $\int x dm$ é igual a 2.43 gramas-metro.

Podemos achar o centro de massa:

$\displaystyle{x_{CM}=\frac{\int x dm}{\int dm}=\frac{2.43}{15.9}\approx 0.153}$

Com isso a coordenada x do centro de massa fica em aproximadamente na marca de 15.3 cm da barra a partir da extremidade repousada na origem do sistema de coordenadas, o que responde o item B.