Question

12. Uma garota desenhou um polígono convexo e todas as suas diagonais. Contudo, ela não gostou da
figura por achá-la muito complexa e, por esse motivo, resolveu desenhar um novo polígono com um
lado a menos. A garota percebeu que o número de diagonais dessa nova figura reduziu 10 unidades.
Qual o primeiro polígono desenhado por ela?
​

Answer 1

O primeiro polígono desenhado por ela foi um dodecágono.

Vamos considerar que a quantidade de lados do polígono convexo desenhado pela menina, inicialmente, é igual a n.

Sendo assim, a quantidade de diagonais é igual a $d=\frac{n(n-3)}{2}$.

Agora, a menina resolver criar um novo polígono. Vamos supor que esse novo polígono possui n' lados e d' diagonais.

De acordo com o enunciado, temos que n' = n - 1 e d' = d - 10.

Então, com as informações acima, podemos montar a seguinte equação:

$d'=\frac{n'(n'-3)}{2}$

$\frac{n(n-3)}{2}-10=\frac{(n-1)(n-1-3)}{2}$

n² - 3n - 20 = (n - 1)(n - 4)

n² - 3n - 20 = n² - 4n - n + 4

-3n - 20 = -5n + 4

-3n + 5n = 20 + 4

2n = 24

n = 12.

Portanto, o primeiro polígono desenhado por ela foi um dodecágono.