Question

12)Sendo 3 pi < alfa < 7 pi sobre 2 e |cos alfa |=3 sobre 5 ,qual é o valor do sen alfa?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Letícia, que temos isto:

Trabalhando-se no intervalo: 3π < α < 7π/2 e considerando-se que:

|cos(α)| = 3/5 , pede-se o valor de sen(α)

Antes note que π = 180º. Então o nosso intervalo ficará sendo:

3*180º < α < 7*180º/2
540º < α < 1.260º/2
540º < α < 630º

Agora note isto: quando se tem dois arcos (ou ângulos) maiores que 360º, para reduzirmos à sua menor determinação positiva, divide-se esses arcos por 360º e verifica-se qual é o quociente e o resto. O quociente indica quantas voltas foram dadas no círculo trigonométrico, enquanto o resto vai indicar a primeira determinação positiva do arco considerado.
Assim, temos que:

540º/360º = dá quociente igual a "1" e resto igual a 180º. Logo, a primeira determinação positiva do arco de 540º é igual a 180º. Ou seja: 540º = 1*360º + 180º ----> 360º + 180º.
e
630º/360º = dá quociente igual a "1" e resto igual a 270º. Logo, a primeira determinação positiva do arco de 630º é igual a 270º. Ou seja: 630º = 1*360º + 270º ----> 360º + 270º.

Dessa forma, tomando-se apenas as duas primeiras determinações positiva dos dois arcos do intervalo dado, tem-se que:

180º < α < 270º

Note que o intervalo acima é o 3º quadrante, local em que tanto o seno como o cosseno são negativos.
Assim, teremos que:

cos(α) = - 3/5 ----> note que |cos(α)| = 3/5 -----> será igual a "-3/5" se o cosseno for negativo, que é o caso do cosseno da sua questão, pois está no terceiro quadrante.
Então, o sen(α) será encontrado pela primeira relação fundamental da trigonometria, que é esta:

sen²(α) + cos²(α) = 1 ---- substituindo-se cos(α) por "-3/5", teremos:
sen²(α) + (-3/5)² = 1
sen²(α) + 9/25 = 1
sen²(α) = 1 - 9/25 ---- mmc, no 2º membro = 25. Assim:
sen²(α) = (25*1 - 1*9)/25
sen²(α) = (25-9)/25
sen²(α) = 16/25
sen(α) = +-√(16/25) ----- note que √(16/25) = 4/5. Assim:
sen(α) = +-4/5 ----- como o seno no 3º quadrante é negativo, então:
sen(α) = - 4/5 <--- Esta é a resposta. Este é o valor do sen(α) pedido.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.