Question

12 Sejam A = [[5, 3], [3, 2]] B = [[6, 2], [2, 4]] . C = [[4, - 2], [- 6, 3]] Resolva cada uma das seguintes equações matri ciais: (a) AX + B = C (c) AX + B = X (b) XA + B = C (d) XA + C = X

Answer 1

Com o estudo das equações matriciais conseguimos determinar o valor de X

• a)$X=\begin{pmatrix}20&-5\\ \:-34&7\end{pmatrix}$
• b)$X=\begin{pmatrix}8&-14\\ -13&19\end{pmatrix}$
• c)$X=\begin{pmatrix}0&-2\\ \:\:-2&2\end{pmatrix}$
• d)$X=\begin{pmatrix}2&-4\\ -3&6\end{pmatrix}$

Resolvendo uma equação matricial

Toda equação matricial do tipo  $A\cdot X=B$, sendo A a matriz associada incompleta do sistema, X a matriz coluna que contém as incógnitas e B a matriz coluna que contém os termos independentes, pode ser resolvida da seguinte maneira:

• $A\cdot X=B\Longleftrightarrow A\cdot A^{-1}\cdot X=A^{-1}\cdot B\Longleftrightarrow I\cdot X=A^{-1}\cdot B\Longleftrightarrow X=A^{-1}\cdot B$

Ou seja, para encontrar os valores dos elementos da matriz X, matriz coluna das incógnitas, basta multiplicar a matriz inversa de A pela matriz B.

Temos:

• $A=\begin{pmatrix}5&3\\ 3&2\end{pmatrix}$

• $B=\begin{pmatrix}6&2\\ 2&4\end{pmatrix}$

• $C=\begin{pmatrix}4&-2\\ -6&3\end{pmatrix}$

a)

$AX\:+\:B\:=\:C$

• Subtraindo B de ambos os lados da equação

$AX\:\:=\:C-B$

• Calculando C - B:

$\begin{pmatrix}4&-2\\ -6&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6&2\\ 2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-6&\left(-2\right)-2\\ \left(-6\right)-2&3-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&-4\\ -8&-1\end{pmatrix}$

• Chamaremos essa diferença de K, temos:

$A\cdot X=K$

• Multiplicando por $A^{-1}$

$X=A^{-1}\cdot K$

• Vamos calcular a inversa de A com a seguinte fórmula:

$\begin{pmatrix}a\:&\:b\:\\ c\:&\:d\:\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{\det \begin{pmatrix}a\:&\:b\:\\ c\:&\:d\:\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}d\:&\:-b\:\\ -c\:&\:a\:\end{pmatrix}\dfrac{1}{\det \begin{pmatrix}5&3\\ 3&2\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}2&-3\\ -3&5\end{pmatrix}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}2&-3\\ -3&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-3\\ -3&5\end{pmatrix}$

Portanto,

$A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-3\\ \:-3&5\end{pmatrix}$

• Agora, devemos fazer o produto $A^{-1}.K$:

$\begin{pmatrix}2&-3\\ \:\:-3&5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-2&-4\\ \:-8&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\left(-2\right)+\left(-3\right)\left(-8\right)&2\left(-4\right)+\left(-3\right)\left(-1\right)\\ \left(-3\right)\left(-2\right)+5\left(-8\right)&\left(-3\right)\left(-4\right)+5\left(-1\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20&-5\\ -34&7\end{pmatrix}$

• Logo,

$X=\begin{pmatrix}20&-5\\ \:-34&7\end{pmatrix}$

b)

$X\cdot A\:+\:B\:=\:C$

$\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5&3\\ 3&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6&2\\ 2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\ -6&3\end{pmatrix}$

• Multiplicando as duas primeiras matrizes e somando com a terceira, teremos:

$\begin{pmatrix}5a+3b+6&3a+2b+2\\ 5c+3d+2&3c+2d+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\ -6&3\end{pmatrix}$

$\mathrm{Para\:ter}\:A=B\:\:a_{ij}\:=\:b_{ij}\:\mathrm{para\:todo}\:ij:$

• 5a+3b+6=4→5a+3b=-2
• 3a+2b+2=-2→3a+2b=-4
• 5c+3d+2=-6→5c+3d=-8
• 3c+2d+4=3→3c+2d=-1

Daí, teremos

$a=8,\:c=-13,\:b=-14,\:d=19$

$X=\begin{pmatrix}8&-14\\ -13&19\end{pmatrix}$

c)

$AX\:+\:B\:=\:X$

$\begin{pmatrix}5&3\\ 3&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6&2\\ 2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$

• Multiplicando as duas primeiras matrizes e somando com a terceira, teremos:

$\begin{pmatrix}5a+3c+6&5b+3d+2\\ 3a+2c+2&3b+2d+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$

• 5a+3c+6=a→4a+3c=-6
• 3a+2c+2=c→3a+c=-2
• 5b+3d+2=b→4b+3d=-2
• 3b+2d+4=d→3b+d=-4

Daí, teremos:

$a=0,\:b=-2,\:c=-2,\:d=2$

$X=\begin{pmatrix}0&-2\\ \:\:-2&2\end{pmatrix}$

d)

$XA\:+\:C\:=\:X$

$\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5&3\\ 3&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&-2\\ -6&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$

• Multiplicando as duas primeiras matrizes e somando com a terceira, teremos:

$\begin{pmatrix}5a+3b+4&3a+2b-2\\ 5c+3d-6&3c+2d+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$

• 5a+3b+4=a→4a+3b=-4
• 5c+3d-6=c→4c+3d=6
• 3a+2b-2=b→3a+b=2
• 3c+2d+3=d→3c+d=-3

Daí, teremos

$a=2,\:c=-3,\:b=-4,\:d=6$

$X=\begin{pmatrix}2&-4\\ -3&6\end{pmatrix}$

Saiba mais sobre equação matricial:https://brainly.com.br/tarefa/2598092

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