Question

12) Para descobrir o número de lados de um polígono do qual sabemos apenas o número de diagonais, usaremos a expressão a seguir:
d= n(n-3)
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2
Sabendo disso, qual é a medida de um ângulo interno de um polígono convexo que possui 230 diagonais?
a) ( ) 164,35° b) ( ) 23° c) ( ) 1849° d) ( ) 3780°

Answer 1

• Depois de descoberto o número de lados do polígono e o valor do somatório dos ângulos internos, podemos concluir que cada ângulo desse polígono convexo mede (a) 164,35°.

 ➢  Existem duas expressões que vamos utilizar, a dada na questão, para descobrir o número de lados do polígono e uma mais abaixo para descobrir a soma dos ângulos internos do mesmo.

$\bf{d=\dfrac{n(n-3)}{2}}\\\\\\\bf{S=(n-2)\cdot180\°}\\\\\\\bf{d\rightarrow n\°\;de\;diagonais}\\\\\bf{n\rightarrow n\°\;de\;lados}\\\\\bf{S\rightarrow somat\'orio\;dos\;\^angulos\;internos}$

 ➢  Primeiramente, vamos descobrir o número de lados do polígono:

$\bf{230=\dfrac{n(n-3)}{2}}\\\\\\\bf{230\cdot2=n^2-3n}\\\\\\\bf{n^2-3n-460=0}$

 ➢  Uma equação do 2° grau, por isso, vamos aplicar a fórmula de Bhaskara.

$\bf{Coeficientes:\;a=1,\;b=-3\;e\;c=-460.}\\\\\\\bf{\Delta=b^2-4ac}\\\\\bf{\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-460)}\\\\\bf{\Delta=9+1840}\\\\\bf{\Delta=1849}\\\\\\\bf{n=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\\bf{n=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{1849}}{2\cdot1}}\\\\\\\bf{n=\dfrac{3\pm43}{2}}\\\\\\\bf{n_1=\dfrac{3+43}{2}=\dfrac{46}{2}=23}\\\\\\\bf{n_2=\dfrac{3-40}{2}=\dfrac{37}{2}=-18,5\;\rightarrow Desconsidere}$

 ➢  Sabemos que o polígono possui 23 lados, desse modo, podemos calcular o somatório dos seus ângulos internos.

$\bf{S=(23-2)\cdot180\°}\\\\\bf{S=21\cdot180\°}\\\\\bf{S=3780\°}$

 ➢  Sabendo que ele possui 23 lados, então ele possui 23 ângulos, dessa forma, cada ângulo mede:

$\bf{\dfrac{3780\°}{23}\approx164,35\°}$

 ➢  Saiba mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/11840492

Espero ter ajudado.

Bons estudos! :)

Answer 2

Resposta:

letra A

Explicação passo-a-passo:

Para descobrir o número de lados de um polígono do qual sabemos apenas o número de diagonais, usaremos a expressão a seguir:

d = n(n – 3)

2

230 = n(n – 3)

2

230·2 = n(n – 3)

460 = n2 – 3n

n2 – 3n – 460 = 0

Observe que temos uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, usaremos a fórmula de Bhaskara. Para tanto, vamos separar os coeficientes e calcular o discriminante:

a = 1, b = – 3 e c = – 460

Δ = b2 – 4·a·c

Δ = (– 3)2 – 4·1·(– 460)

Δ = 9 + 1840

Δ = 1849

Agora vamos calcular o número de lados com a fórmula de Bhaskara:

n = – b ± √Δ

2·a

n = – (– 3) ± √1849

2·1

n = 3 ± 43

2

n’ = 3 + 43 = 46 = 23

2 2

n’’ = 3 – 43 = – 40 = – 20

2 2

Como o resultado não pode ser um número negativo, o polígono em questão apresenta 23 lados.

Agora usaremos o número de lados para descobrir a soma dos ângulos internos desse polígono:

S = (n – 2)·180

S = (23 – 2)·180

S = 21·180

S = 3780

Como o polígono é convexo, basta dividir esse resultado pelo número de lados do polígono, que é igual ao número de ângulos:

3780 = 164,35°

23

Cada ângulo interno do polígono mede, aproximadamente, 164,35°.

Gabarito: letra A.