12. Obtenha uma P.A. de 4 termos inteiros em que a soma dos termos é 32 e o produto
é 3 465.
Soluções para a tarefa
Resposta: (5, 7, 9, 11) ou (11, 9, 7, 5)
Explicação passo-a-passo:
A P.A. é dada por (representação especial para uma Progressão Aritmética de quatro termos):
(x - 3y, x - y, x + y, x + 3y)
e
r = 2y
Com isso temos:
(x - 3y) + (x - y) + (x + y) + (x + 3y) = 32 =>
4x + (3y - 3y) + (y - y) = 32 =>
4x + 0 + 0 = 32 =>
4x = 32 =>
x = 32/4 =>
x = 8
Sabemos também:
(x - 3y)(x - y)(x + y)(x + 3y) = 3465 e x = 8 =>
(8 - 3y)(8 - y)(8 + y)(8 + 3y) = 3465 =>
(64 - 9y²)(64 - y²) = 3465 *
* Faremos uma substituição de incógnita, ou seja, utilizaremos uma incógnita auxiliar. Fazendo y² = k, obteremos:
(64 - 9k)(64 - k) = 3465 =>
64² - 64k - 576k + 9k² = 3465 =>
9k² - 640k + 4096 = 3465 =>
9k² - 640k + 4096 - 3465 = 0 =>
9k² - 640k + 631 = 0 =>
9k² - 9k - 631k + 631 = 0 =>
9k(k - 1) - 631(k - 1) = 0 =>
(9k - 631)(k - 1) = 0
e
y é inteiro => k deve ser um quadrado perfeito => k = 1 (única solução, pois a questão pede termos inteiros)
Sendo k = 1, calcularemos o(s) valor(es) de “y”. Com isso:
y² = 1 =>
|y| = 1 =>
y = 1
ou
y = - 1
e
x = 8
Logo, temos duas Progressões Aritméticas possíveis, que por sua vez são dadas por:
—> Para x = 8 e y = 1
(8 - 3.1, 8 - 1, 8 + 1, 8 + 3.1) =
(8 - 3, 8 - 1, 8 + 1, 8 + 3) =
(5, 7, 9, 11) - Primeira possibilidade
—> Para x = 8 e y = - 1
(8 - 3.(- 1), 8 - (- 1), 8 + (- 1), 8 + 3.(- 1)) =
(8 + 3, 8 + 1, 8 - 1, 8 - 3) =
(11, 9, 7, 5) - Segunda possibilidade
Abraços!
A progressão aritmética que possui as características dadas são: (5, 7, 9, 11). A partir das características da progressão aritmética, podemos determinar os termos pedidos.
Progressão Aritmética
Uma progressão aritmética é uma sequência em que os termos estão sempre equidistantes um dos outros, ou seja, o termo seguinte será igual ao anterior somado de uma razão.
Sejas a sequência:
(a₁, a₂, a₃, a₄)
Do enunciado, sabemos que:
- A soma dos termos é igual a 32 → a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 32;
- O produto dos termos é igual a 3.465 → a₁ ⋅ a₂ ⋅ a₃ ⋅ a₄ = 3.465;
Podemos fatorar o número 3.465 em fatores primos:
3.465 | 3
1.155 | 3
385 | 5
77 | 7
11 | 11
1 | 1
Assim, a fatoração do número 3.465 é 3 × 3 × 5 × 7 × 11. Podemos reescrever a fatoração com 4 fatores, desde que a soma seja igual a 32. Escrevendo o número como:
- 3.465 = 9 × 5 × 7 × 11
Observe que a soma dos fatores é 5 + 9 + 7 + 11 = 32. Logo, a progressão aritmética é igual a:
(5, 7, 9, 11)
Para saber mais sobre Progressões, acesse: brainly.com.br/tarefa/43095120
#SPJ2
