Question

12.Considere uma progressão aritmética finita em que a soma dos três primeiros termos é 39 e a
soma dos quatro últimos é 190. Sabendo disso, pode-se afirmar que o termo central dessa sequência
é:
A) 35
B) 31
C) 21
D) 15
E) 8

Answer 1

Resposta:

Letra B) 31

Explicação passo a passo:

Fórmula da PA:

$an = a1 + (n - 1) r$

Se a soma dos três primeiros termos é 39, então:

$a1 + a2 + a3 = 39$

$a1 + [a1+ (2-1)r] + [a1+ (3-1)r] = 39$

$a1 + a1+ r + a1+ 2r = 39$

$3a1 + 3r = 39$

$3(a1 + r) = 39$

$a1 + r = \frac{39}{3}$

$a1 + r = 13$

$a1 = 13 - r$

Se $a1 = 13 - r$, $a2 = 13 - r + r$ e $a3 = 13 - r + r + r$, Logo:

$a2 = 13$    e     $a3 = 13 + r$

Calculando an a partir de a2:

$an= a2 + (n - 1 - 1)r$

$an= 13 + (n - 2)r$

Calculando : a soma dos quatro últimos é 190 a partie de a2:

$13 + (n - 5)r + 13 + (n - 4)r + 13 + (n - 3)r + 13 + (n - 2)r = 190$

$52 + (n - 5)r + (n - 4)r + (n - 3)r + (n - 2)r = 190$

$r(n - 5 + n - 4 + n - 3 + n - 2) = 190 - 52$

$r(4n - 14) = 138$

Lembrando que se a PA tem um termo central, seu total de termos é um número ímpar. Agora, fazendo algumas hipóteses da soma dos quatro últimos termos:

PA de 7 termos: $a4 + a5 + a6 + a7 = 190$

$13 + 2r + 13 + 3r + 13 + 4r + 13 + 5r = 190$

$52 + 14r = 190$

$14r = 190 - 52$

$14r = 138$

$r = \frac{138}{14}$  (14 não é divisor de 138)

PA de 9 termos: $a6 + a7 + a8 + a9 = 190$

$13 + 4r + 13 + 5r + 13 + 6r + 13 + 7r = 190$

$22r = 138$

$r = \frac{138}{22}$  (22 não é divisor de 138)

PA de 11 termos: $a8 + a9 + a10 + a11 = 190$

$13 + 6r + 13 + 7r + 13 + 8r + 13 + 9r = 190$

$30r = 138$

$r = \frac{138}{30}$ (30 não é divisor de 138)

Dentre os divisores de 138 = {1, 2, 3, 6, 23, 46, 69, 138}, vamos tentar usar o 46: $r = \frac{138}{46} = 3$, assim:

PA de 15 termos: $a12 + a13 + a14 + a15 = 190$

$13 + 10r + 13 + 11r + 13 + 12r + 13 + 13r = 190$

$46r = 138$

$r = \frac{138}{46} = 3$

Se a PA tem 15 termos, o termo central será o a8:

$a8 = a2 + 6r$

$a8 = 13 + 6. 3$

$a8 = 13 + 18$

$a8 = 31$

O termo central da PA é o número 31 que ocupada a 8ª posição.

Espero ter ajudado!