Question

12) A esfera D tem massa de 20 kg. Se uma força F= 100 N for aplicada horizontalmente ao anel em Á, determine a maior dimensão d de modo que a força no cabo seja nula. ​

Answer 1

A bola D tem massa de 20 kg. Se uma força F = 100 N for aplicada horizontalmente ao anel em A, determine a dimensão d, de modo que a força no cabo AC seja zero.  A figura em anexo.

A partir dos devidos cálculos realizados, chegamos na conclusão de que a dimensão d é de d = 2,42 m.

Para manter o equilíbrio é necessário satisfazer a primeira lei de Newton.

A força resultante que atua deve ser igual a zero.

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{\sum \:F = 0 } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf m = 20\: kg \\ \sf F = 100\: N \\ \sf d = \:?\: m \\ \sf g = 9{,}81 \: m/s^{2} \end{cases} } }$

Solução:

Fazendo as decomposições da figura, temos:

Na  horizontal eixo ox:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \cos{\theta} = \dfrac{C . A}{hip} \Rightarrow \cos{\theta} = \dfrac{T_x}{T} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf T_x = T \cdot \cos{\theta} }$

Na vertical eixo oy:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sin{\theta} = \dfrac{C . O}{hip} \Rightarrow \sin{\theta} = \dfrac{T_y}{T} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf T_y = T \cdot \sin{\theta} }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \stackrel{+}{\longrightarrow} \sum F_x = 0 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{F - T_x = 0 \Rightarrow F = T_x }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ T \cdot \cos{\theta} = 100 \Rightarrow T = \dfrac{100}{\cos{\theta}} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ + \:\uparrow \sum T_y = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ T_x - P = 0 \Rightarrow T_y = P }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ T \cdot \sin{\theta} = m \cdot g \Rightarrow T \cdot \sin{\theta} = 20 \cdot 9{,}81 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \left( \dfrac{100}{ \cos{\theta}} \right) \cdot \sin{ \theta} = 196{,}2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{\sin{\theta} }{\cos{\theta}} \cdot 100 = 196{,}2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \tan{ \theta} = \dfrac{196{,}2}{100} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \tan{\theta} = 1{,}962 } }$

Resolvendo para Θ, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \theta = \tan^{-1} ({1{,}962}) } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \theta = 63^{\circ} }$

Agora devemos determinar o valor de d, usando as razões trigonométricas.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \tan{63^\circ} = \dfrac{C. O}{C.A} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 1{,}96 = \dfrac{( 1{,} 5 + d)}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 1{,}5 + d = 2 \cdot 1{,}96 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d = 3{,}92 -1{,}5 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf d = 2{,} 42 \: m }$

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