Question

12.68 • Um foguete com massa de 5,00 × 10³ kg está em uma órbita circular de raio 7,20 × 106 m em torno da Terra. Os motores do foguete são acionados por um período para aumentar esse raio para 8,80 × 10⁰ m, com a órbita novamente circular. (a) Qual é a variação da energia cinética do foguete? Ela aumenta ou diminui? (b) Qual é a variação da energia potencial gravitacio- nal do foguete? Ela aumenta ou diminui? (c) Qual é o trabalho realizado pelos motores do foguete na mudança do raio orbital?​

Answer 1

A energia cinética do foguete diminui em $2,52\times 10^{10}J$, a energia potencia gravitacional aumentou em $5,03\times 10^{10}J$ e o trabalho realizado pelos motores do foguete é de $2,51\times 10^{10}J$.

Como se achar a variação de energia cinética?

Se o foguete está em órbita em torno da Terra, a força gravitacional e a força centrípeta estão em equilíbrio, da expressão resultante, é possível calcular a velocidade:

$m\frac{v^2}{R}=G\frac{m.M}{R^2}\\\\v^2=G\frac{M}{R}\\\\v=\sqrt{G\frac{M}{R}}=\sqrt{6,67\times 10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\frac{5,98\times 10^{24}kg}{7,2\times 10^6m}}\\\\v=7443\frac{m}{s}$

Em que M é a massa da Terra e R é o raio da órbita. Com a mesma expressão é possível se achar a velocidade da nova órbita:

$v=\sqrt{G\frac{M}{R}}=\sqrt{6,67\times 10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\frac{5,98\times 10^{24}kg}{8,8\times 10^6m}}\\\\v=6732\frac{m}{s}$

Então, a variação na energia cinética é:

$\Delta E=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_2^2=\frac{1}{2}m(v_1^2-v_2^2)=\frac{1}{2}.5000kg((7443\frac{m}{s})^2-(6732\frac{m}{s})^2)\\\\\Delta E=2,52\times 10^{10}J$

A energia cinética diminui porque a velocidade diminui.

Como se achar a variação da energia potencial gravitacional?

A variação da energia potencial gravitacional pode ser calculada conhecendo o raio da primeira órbita R1 o e raio da segunda órbita R2:

$\Delta U=-\frac{G.M.m}{R_2}-(-\frac{G.M.m}{R_1})=G.M.m(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})\\\\\Delta U=6,67\times 10^{-11}.5,97\times 10^{24}kg.5000kg(\frac{1}{7,2\times 10^6m}-\frac{1}{8,8\times 10^6m})\\\\\Delta U=5,03\times 10^{10}J$

A energia potencial aumentou.

Como se achar o trabalho realizado pelos motores do foguete?

Parte da energia cinética inicial foi convertida para energia potencial, e os motores do foguete forneceram energia potencial ao foguete, então, o trabalho realizado pelos motores é:

$W=\Delta U-\Delta E=5,03\times 10^{10}J-2,52\times 10^{10}J=2,51\times 10^{10}J$

Saiba mais sobre a energia potencial gravitacional em https://brainly.com.br/tarefa/5947784

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