Question

1² + 2² + 3² + ... n² = n * (n + 1) * (2n + 1)/6

com: n ≥ 1

N = k

prove por indução que : (N = k + 1)

preciso de uma resolução completa por favor, valendo :35pts.

Answer 1

$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Seja $n=1$ a base, temos:

$1^2=\dfrac{1(1+1)(2+1)}{6} \iff 1=\dfrac{6}{6} \iff 1=1$

A base está correta, válida.

Digamos que seja verdade até $n=k$, vamos provar que vale para $k+1$.

Precisamos provar que

$1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

Sabemos que $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, substituindo:

$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

$\dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

Colocando $n+1$ em evidência no primeiro membro da igualdade:

$\dfrac{[n+1]\cdot[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}~(i)$

Veja que

$n\cdot(2n+1)+6(n+1)=2n^2+n+6n+6=2n^2+4n+3n+6$, pois $n+6n=4n+3n$

E $2n^2+4n+3n+6=2n(n+2)+3(n+2)=(2n+3)(n+2)$

Substituindo em $(i)$ obtemos:

$\dfrac{[n+1]\cdot[(2n+3)(n+2)]}{6}=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

Que é verdade, provando o que queríamos