Question

11. Verifique se as retas r e s nos casos a seguir são coplanares:

Answer 1

As retas r e s não são coplanares.

As duas retas serão coplanares se elas forem paralelas, concorrentes ou coincidentes.

Vamos escrever as equações paramétricas da reta r.

Somando as duas equações do sistema, obtemos:

4x - y + 1 = 0

y = 4x + 1.

Substituindo o valor de y na segunda equação:

3x + 4x + 1 - z + 1 = 0

7x - z + 2 = 0

z = 7x + 2.

Considerando x = t, temos que as equações paramétricas da reta r são:

{x = t

{y = 4t + 1

{z = 7t + 2.

Na reta r, temos que o vetor direção é (1,4,7). Na reta s, temos que o vetor direção é (3,-1,1).

Observe que esses dois vetores são Linearmente Independentes. Então, as retas r e s são concorrentes ou reversas.

Igualando as duas paramétricas, obtemos o seguinte sistema:

{t = 1 + 3h

{4t + 1 = -h

{7t + 2 = 1 + h.

Substituindo o valor de t na segunda equação:

4(1 + 3h) + 1 = -h

4 + 12h + 1 = -h

5 = -13h

h = -5/13.

Substituindo o valor de t na terceira equação:

7(1 + 3h) + 2 = 1 + h

7 + 21h + 2 = 1 + h

9 + 21h = 1 + h

20h = -8

h = -2/5.

Note que obtemos dois valores para h. Isso significa que o sistema não possui solução.

Portanto, as retas são reversas e, consequentemente, não são coplanares.