11) Quantos cm2 de papelão são necessários para fabricar uma caixa com o formato de um prisma hexagonal regular, com 10cm de aresta da base, sendo que a aresta lateral possui o triplo da medida da aresta da base. Utilize √3 = 1,7
Soluções para a tarefa
Resposta:
A área lateral então é calculada pela área do retângulo vezes a quantidade de lados do polígono da base, que é 6, logo:
AL = (base · altura) · número de lados da face
AL = (3 · 11) · 6
AL = 198 cm2
Explicação passo-a-passo:
Cálculo da área lateral
Observando a imagem do prisma triangular, temos que os paralelogramos ABFC, ABFD e ACDE são as faces laterais. Note que as faces laterais de um prisma sempre serão paralelogramos independentemente do número de lados dos polígonos da base, isso acontece, pois elas são paralelas e congruentes.
Observando a figura do prisma triangular, vemos também que temos três faces laterais. Isso ocorre por conta do número de lados do polígono da base, ou seja, se as bases do prisma forem um quadrilátero, teremos quatro faces laterais, se as bases forem um pentágono, teremos cinco faces laterais, e assim sucessivamente. Dessa forma: o número de lados do polígono da base afeta a quantidade de faces laterais do prisma.
Portanto, a área lateral (AL) de qualquer prisma é dada pela área de uma face lateral multiplicada pela quantidade de faces laterais, ou seja, é a área do paralelogramo multiplicada pelo número de lados da face.
AL = (base · altura) · número de lados da face
Exemplo
Calcule a área lateral de um prisma hexagonal regular com aresta da base igual a 3 cm e altura igual a 11 cm.
O prisma em questão é representado por:

A área lateral então é calculada pela área do retângulo vezes a quantidade de lados do polígono da base, que é 6, logo:
AL = (base · altura) · número de lados da face
AL = (3 · 11) · 6
AL = 198 cm2
A quantidade de papelão necessária para fazer a caixa é igual a 2310 cm².
Prisma
O prisma é uma figura geométrica espacial formada por uma base e um topo poligonal de mesmo formato e dimensão, e por laterais retangulares. Assim, a área total de um prisma equivale à soma das áreas da base, do topo, e das áreas laterais.
Foi informado que o prisma será formado por uma base hexagonal de aresta 10 cm, e por uma aresta lateral que possui o triplo da medida. Assim, a aresta lateral terá medida igual a 3 x 10 = 30 cm.
Para encontrarmos a área da base do prisma, devemos utilizar a relação da área do triângulo equilátero, onde um hexágono é formado por 6 triângulos equiláteros cuja medida da aresta é igual à aresta do hexágono.
Utilizando a relação da área do triângulo equilátero de lado l, e aproximando √3 por 1,7, temos que a área da base e do topo equivalem a 6 vezes a área de cada triângulo. Assim, temos:
AB = AT = 6 x l²√3/4
AB = AT = 6 x 10² x 1,7/4
AB = AT = 255 cm²
A área lateral equivale a 6 vezes a área de um retângulo cujas medidas são a aresta da base e a altura. Assim, temos:
AL = 6 x 10 cm x 30 cm
AL = 6 x 300 cm²
AL = 1800 cm²
Portanto, a quantidade de papelão necessária para fazer a caixa é igual a 255 cm² + 255 cm² + 1800 cm² = 2310 cm².
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