Question

11. Qual a natureza, quanto aos ângulos, dos triângulos cujos vértices são A(0, 3), B(0, 0) e C(1, 2)?

Answer 1

A natureza do triângulo ABC é obtuso.

Dados os vetores u e v, temos que o ângulo entre eles é definido por:

• $cos(\alpha)=\frac{<u,v>}{||u||||v||}$.

Vamos determinar os vetores AB, AC e BC.

Dados os pontos A = (0,3), B = (0,0) e C = (1,2), temos que:

AB = (0,0) - (0,3)

AB = (0 - 0, 0 - 3)

AB = (0,-3)

AC = (1,2) - (0,3)

AC = (1 - 0, 2 - 3)

AC = (1,-1)

BC = (1,2) - (0,0)

BC = (1 - 0, 2 - 0)

BC = (1,2).

Agora, vamos calcular a norma dos vetores AB, AC e BC:

||AB||² = 0² + (-3)²

||AB||² = 9

||AB| = 3

||AC||² = 1² + (-1)²

||AC||² = 1 + 1

||AC||² = 2

||AC|| = √2

||BC||² = 1² + 2²

||BC||² = 1 + 4

||BC||² = 5

||BC|| = √5.

Vamos calcular os produtos internos <AB,BC>, <AB,AC> e <AC,BC>:

<AB,BC> = 0.1 + (-3).2

<AB,BC> = -6

<AB,AC> = 0.1 + (-3).(-1)

<AB,AC> = 3

<AC,BC> = 1.1 + (-1).2

<AC,BC> = -1.

Sendo assim, o ângulo entre AB e BC é:

cos(α) = |-6|/3√5

α ≈ 27º.

O ângulo entre AB e AC é:

cos(α) = 3/3√2

α = 45º.

O ângulo entre BC e AC é:

cos(α) = -1/√10

α ≈ 108º.

Como temos um ângulo maior que 90º, então o triângulo é obtuso.