Question

11. (OBMEP 2018) Qual é o maior valor possível para o máximo divisor comum de dois números naturais cujo produto é 6 000?

A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 60​

Answer 1

Conteúdo:

     Fatoração, MDC

✍️ Desenvolvimento:

OBS: Parte (s) da resposta (s) serão introduzidas em imagem (imagens) !

• (Imagem I) Para resolver este problema temos que saber quantos divisores tem o produto 6000 que é o resultado de uma multiplicação de um fator para um fator, logo encontraremos possíveis fatores para 6000, portanto:

• Nisto teremos o seguinte:

$\large {\boxed { \sf 2^4 +3^1 +5^3 }}$

• Agora iremos pegar esses expoentes, somar uma unidade e multiplicar-lós, isto seria:

$\large {\text { \sf \displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} \sf 4+1 = 5\\\sf 1+1 =2\\\sf 3+1 = 4\\ \end{array}\right. }}$

            $\searrow$

                $\large { \sf 5\cdot 2 \cdot 4 = 40 \: divisores}$

• Ou seja, existem 40 divisores, então 20 produtos.

      Isso teremos:

1)

• 1 . 6000 = 6000                                         MDC = 1

2)

• 2 . 3000 = 6000                                      MDC = 2

3)

• 3 . 2000 = 6000                                       MDC = 1

4)

• 4 . 1500 = 6000                                        MDC = 4

5)

• 5 . 1200 = 6000                                        MDC = 5

6)

• 6 . 1000 = 6000                                       MDC = 2

7)

• 8 . 750 = 6000                                         MDC = 2

8)

• 10 . 600 = 6000                                       MDC = 10

9)

• 12 . 500 = 6000                                       MDC = 4                        

10)

• 15 . 400 = 6000                                      MDC = 5

11)

• 16 . 375 = 6000                                        MDC = 1

12)

• 20 . 300 = 6000                                      MDC = 20

13)

• 24 . 250 = 6000                                     MDC = 2

14)

• 25 . 240 = 6000                                      MDC = 5

15)

• 30 . 200 = 6000                                     MDC = 10

16)

• 40 . 150 = 6000                                       MDC = 10

17)

• 48 . 125 = 6000                                        MDC = 1

18)

• 50 . 120 = 6000                                      MDC = 10

19)

• 60 . 100 = 6000                                       MDC = 20

20)

• 75 . 80 = 6000                                        MDC = 5

Observando os resultados vemos o que nos leva a crer é....

$\huge { \ut Letra \:\:B }$

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