Question

11. O ángulo externo de um poligono regular é igual ao dobro do seu ângulo interno. Qual é o nome desse poligono?

me ajudem porfavor ​

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o polígono convexo e regular cuja medida do ângulo externo é o dobro da medida do ângulo interno é:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Tri\hat{a}ngulo\:equil\acute{a}tero\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja o enunciado:

 "O ângulo externo de um polígono regular é igual ao dobro do seu ângulo interno. Qual é o nome desse polígono?"

Traduzindo algebricamente o enunciado, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{E} = 2A_{I}\end{gathered}$

Onde:

               $\Large\begin{cases} A_{E} = \hat{A}ngulo\:externo\\A_{I} = \hat{A}ngulo\:interno\end{cases}$

Sabemos que o ângulo externo de um polígono convexo e regular em função do número de lados pode ser expresso por:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} A_{E} = \frac{360^{\circ}}{n}\end{gathered} }$

Além disso, sabemos também que o ângulo interno de um polígono convexo e regular pode ser calculado pela seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} A_{I} = \frac{(n - 2)\cdot180^{\circ}}{n}\end{gathered} }$

Invertendo a ordem dos membros da equação "I", sem perda alguma de generalidades, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}2A_{I} = A_{E} \end{gathered}$

Substituindo "II" e "III" na equação "IV", temos:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} 2\cdot\left[\frac{(n - 2)\cdot180^{\circ}}{\!\diagup\!\!\!\!n}\right] = \frac{360^{\circ}}{\!\diagup\!\!\!\!n}\end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot\left[(n - 2)\cdot180^{\circ}\right] = 360^{\circ}\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} (n - 2)\cdot180^{\circ} = \frac{360^{\circ}}{2}\end{gathered} }$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} (n - 2)\cdot180^{\circ} = 180^{\circ}\end{gathered}$

                                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} n - 2 = \frac{180^{\circ}}{180^{\circ}}\end{gathered} }$

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} n - 2 = 1\end{gathered}$

                                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = 1 + 2\end{gathered}$

                                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = 3\end{gathered}$

Então, o número de lados do referido polígono é:

                                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = 3\end{gathered}$

✅ Portanto, o polígono procurado é:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt Tri\hat{a}ngulo\:equil\acute{a}tero\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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