Question

11) Em um campeonato escolar de dardo, vence o competidor que obtiver a maior soma de pontos em 5 arremessos. Em caso de empate na pontuação final, vence o competidor mais regular, ou seja, o que obtiver o menor desvio padrão. Na tabela, a seguir, está apresentada a pontuação obtida em cada arremesso pelos 2 competidores mais bem pontuados.


Arremesso
1º
2º
3º
4º
5º
Pontuação
Competidor A
10
70
30
30
60

Competidor B
80
20
60
10
30
Com base nas informações, responda:
a) Qual a pontuação final obtida pelos competidores A e B?
b) Qual o desvio padrão de cada um desses competidores?
c) Qual dos competidores venceu o campeonato? Justifique.

Answer 1

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Montando a tabela com os dados:


Tabela:  Pontuação obtida nos arremessos:

$\boxed{ \begin{array}{c|c|c} \textsf{Arremesso}&\textsf{Competidor A}&\textsf{Competidor B}\\ \mathsf{1^o}&\mathsf{10}&\mathsf{80}\\ \mathsf{2^o}&\mathsf{70}&\mathsf{20}\\ \mathsf{3^o}&\mathsf{30}&\mathsf{60}\\ \mathsf{4^o}&\mathsf{30}&\mathsf{10}\\ \mathsf{5^o}&\mathsf{60}&\mathsf{30}\\ \textsf{TOTAL}&\mathsf{200}&\mathsf{200} \end{array} }$


O total de pontos obtidos é simplesmente a soma das pontuações de todos os arremessos feitos por cada competidor.

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a) A pontuação obtida pelo competidor A foi

10 + 70 + 30 + 30 + 60 = 200 pontos.


A pontuação obtida pelo competidor B foi

80 + 20 + 60 + 10 + 30 = 200 pontos.


Ambos os competidores obtiveram a mesma pontuação. Então, pela pontuação apenas, houve empate.

__________


b) Calculando o desvio padrão para cada competidor:

Tamanho da amostra:   $\mathsf{n=5~(arremessos)}.$


•   Para o competidor A:


    Média aritmética dos pontos:

    $\mathsf{\overline{x}=\dfrac{200}{5}=40~pontos;}\qquad\quad\checkmark$


    Soma dos quadrados:

    $=\mathsf{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2+(x_5-\overline{x})^2}\\\\ =\mathsf{(10-40)^2+(70-40)^2+(30-40)^2+(30-40)^2+(60-40)^2}\\\\ =\mathsf{(-30)^2+(30)^2+(-10)^2+(-10)^2+(20)^2}\\\\ =\mathsf{900+900+100+100+400}\\\\ =\mathsf{2\,400~~(ponto^2)}\qquad\quad\checkmark$


    Variância:

    $\mathsf{Var=\sigma^2=\dfrac{\textsf{soma dos quadrados}}{n-1}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{2\,400}{5-1}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{2\,400}{4}}\\\\\\ \mathsf{=600~~(ponto^2)}\qquad\quad\checkmark$


    Desvio padrão:

    $\mathsf{\sigma=\sqrt{Var}}\\\\ \mathsf{\sigma=\sqrt{600}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{\sigma\approx 24,\!5~\textsf{pontos}} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$

__________


•   Para o competidor B:


    Média aritmética dos pontos:

    $\mathsf{\overline{x}=\dfrac{200}{5}=40~pontos;}\qquad\quad\checkmark$


    Soma dos quadrados:

    $=\mathsf{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2+(x_5-\overline{x})^2}\\\\ =\mathsf{(80-40)^2+(20-40)^2+(60-40)^2+(10-40)^2+(30-40)^2}\\\\ =\mathsf{(40)^2+(-20)^2+(20)^2+(-30)^2+(-10)^2}\\\\ =\mathsf{1\,600+400+400+900+100}\\\\ =\mathsf{3\,400~~(ponto^2)}\qquad\quad\checkmark$


    Variância:

    $\mathsf{Var=\sigma^2=\dfrac{\textsf{soma dos quadrados}}{n-1}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{3\,400}{5-1}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{3\,400}{4}}\\\\\\ \mathsf{=850~~(ponto^2)}\qquad\quad\checkmark$


    Desvio padrão:

    $\mathsf{\sigma=\sqrt{Var}}\\\\ \mathsf{\sigma=\sqrt{850}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{\sigma\approx 29,\!2~\textsf{pontos}} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$

__________


c) O competidor A venceu o campeonato, pois este obteve o menor desvio padrão (critério de desempate).


Bons estudos! :-)

Answer 2

c) O competidor A venceu o campeonato, pois este obteve o menor desvio padrão (critério de desempate).

Explicação passo-a-passo: