Question

11- Determine o perímetro do triângulo ADE,

Answer 1

Podemos utilizar semelhança de triângulos para resolver esta questão.

Vamos começar identificando o que temos de calcular.

Como queremos o perímetro de triangulo ADE, precisaremos calcular a medida do segmento AE.

Perceba então que, claramente, os triângulos ABC e ADE possuem 2 ângulos congruentes (semelhantes), o ângulo ∝ e o angulo no vértice A.

Sendo assim, necessariamente, os dois ângulos restantes, angulo no vértice E e angulo no vértice B, serão também semelhantes.

Com isso, podemos afirmar que os dois triângulos são semelhantes, possuem  os mesmos ângulos internos.

Vamos então montar uma relação, envolvendo o segmento AE, para calcular o que é pedido:

$\dfrac{~^{Segmento~oposto~ao}_{vertice~B~no~\triangle_{ABC}}~}{^{Segmento~oposto~ao}_{vertice~E~no~\triangle_{ADE}}}~=~\dfrac{~^{Segmento~oposto~ao}_{vertice~A~no~\triangle_{ABC}}~}{^{Segmento~oposto~ao}_{vertice~A~no~\triangle_{ADE}}}$

$\dfrac{AE+EC}{AD}~=~\dfrac{BC}{DE}\\\\\\Substituindo~os~valores\\\\\\\dfrac{AE+20}{12}~=~\dfrac{16}{8}\\\\\\Multiplicando~Cruzado\\\\\\(AE+20)\cdot8~=~12\cdot16\\\\\\8.AE~+~160~=~192\\\\\\8.AE~=~192-160\\\\\\AE~=~\dfrac{32}{8}\\\\\\\boxed{AE~=~4}$

Com o valor de AE, podemos então calcular o perímetro do triangulo ADE:

$Perimetro~\triangle_{ADE}~=~AE+AD+DE\\\\\\Perimetro~\triangle_{ADE}~=~4+12+8\\\\\\\boxed{Perimetro~\triangle_{ADE}~=~24~unidades~de~comprimento}$