11) Dados os algarismos decimais {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9}, pergunta-se:
A) Quantos números de três algarismos podemos formar?
B) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar?
C) Quantos números de três algarismos pares podemos formar?
D) Quantos números pares de três algarismos distintos podemos formar? E) Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar?
Soluções para a tarefa
Resposta:
A) 900
B) 648
C) 450
D) 328
E) 4536
Explicação passo a passo:
A) Para que o número tenha de fato 3 dígitos, não é possível começar com o 0, de modo que teremos apenas 9 algarismos para ocupar a casa das centenas. Como não há restrição quanto à repetição de algarismos, para a casa das dezenas e das unidades, teremos 10 algarismos. De modo que temos 9 x 10 x 10 = 900
B) Aqui temos uma restrição a mais, pois o número deve ser formado por algarismos distintos. Ainda se aplica a regra de não iniciar o número com o algarismo 0. Seguimos com 9 opções para a casa das centenas. Mas agora não podemos repetir algarismos de modo que na casa das dezenas temos ao invés de 10 alternativas, apenas 9 pois não podemos repetir o número usado nas centenas. Para as unidades não poderemos repetir os números que já foram utilizados nas centenas e nas dezenas, de modo que teremos 8 algarismos. Ao fim temos: 9 x 9 x 8 = 648
C) Para que um número seja par, ele deve terminar em um algarismo par. De modo que continuamos com 9 algarismos para a casa das centenas, 10 para a casa das dezenas (uma vez que não existe restrição quanto à repetição de algarismos), mas teremos apenas 5 algarismos aptos a ocupar a casa das unidades (são eles: 0, 2, 4, 6 e 8). Ao fim temos: 9 x 10 x 5 = 450
D) Aqui devemos dividir o problema em duas partes: a primeira para os números pares terminados em 0 e a segunda parte para os números pares terminados em algarismo par diferente de 0.
Para a primeira análise temos 9 x 8 x 1 = 72
Para a segunda análise temos 8 para as casas das centenas (não pode ser 0 e nem um dos demais algarismos pares), para as dezenas temos 8 candidatos e para as unidades temos mais 4 alternativas, dessa forma teremos 8 x 8 x 4 = 256
Por fim ficamos como 256 + 72 = 328
E) Aqui usaremos uma lógica parecida com a primeira pergunta. A única restrição é que o número seja de algarismos distintos. Temos 9 algarismos para a casa das milhares (uma vez que o número não pode começar com 0), 9 para a casa das centenas (10 menos o algarismo utilizado para ocupar as milhares), 8 para as dezenas e 7 para as unidades. Ficamos com 9 x 9 x 8 x 7 = 4536