Question

11. (CEFET-2000.2 / ESP.) Em um poliedro convexo, o número de vértices é igual ao número de faces menos 1. Mostre que esse poliedro tem um número ímpar de arestas.

Answer 1

Vc deve usar a formula de Euler para resolver poliedros convexos que é:
V+F= A+2 onde
V= vertice
F= face
A= aresta
Logo diz-se que o numero de vertices é igual ao numero de faces menos 1
V= F - 1
Ai basta substituir na formula V+F = A+2
(F -1) + F = A+2
2F -1 = A+ 2
A= 2F - 1 - 2
A= 2F - 3
Agora para provar que o numero de arestas sera sempre impar basta vc colocar numeros quaisquer em F para provar, por exemplo vc pode colocar (2,3,4...e por diante, vc pode escolher os numeros)
A= 2F - 3   colocando 2 no lugar de F  
A = (2x2) - 3 = 4-3 = 1 um é impar

Agora colocando 3 no lugar de F
A = (2x3) - 3 =  6-3 =3  e tres é impar
Provando que qualquer numero que vc colocar em F a Aresta sempre sera impar