Question

11. (ACAFE - SC) - Dois triângulos equiláteros têm áreas
medindo respectivamente 81√3 cm² e 9√3 cm². A razão
entre suas alturas é:
a) 2
b) 2√3 c) 3√3 d) 3 e) 4√3

Answer 1

A razão entre as alturas é 3 o que corresponde a alternativa D .

O que é um triângulo equilátero?

Um triângulo equilátero é um triângulo que possui os três lados iguais e, consequentemente, os três ângulos internos iguais a 60º.

Solução:

A partir da figura do anexo, podemos determinar a altura e a área do triângulo equilátero. Para isso, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo do lado direito da figura.

Cálculo da altura do triângulo equilátero:

$\large \begin{array}{lr} \sf L^2=H^2+\bigg (\dfrac{L}{2} \bigg )^2 \\\\ \sf L^2=H^2+ \dfrac{L^2}{4} \\\\ \sf H^2 = L^2-\dfrac{L^2}{4}=\dfrac{3L^2}{4} \\\\ \therefore \boxed{\sf H=\dfrac{L\sqrt{3}}{2}}\end{array}$

Cálculo da área do triângulo equilátero:

$\large \begin{array}{lr} \sf A=\dfrac{b \cdot H}{2} \\\\ \sf A=\dfrac{L\cdot \bigg (\dfrac{L\sqrt{3}}{2}\bigg)}{2} \\\\ \therefore \boxed{\sf A=\dfrac{L^2\sqrt{3}}{4}}\end{array}$

Agora podemos determinar o lado e a altura dos triângulos dados no problema.

Para o primeiro triângulo:

$\large \begin{array}{lr} \sf A=81\sqrt{3} \ cm^2 \\\\ \sf 81\sqrt{3}=\dfrac{L^2\sqrt{3}}{4}} \\\\ \sf L^2=4\cdot 81 \\\\ \sf L=\sqrt{4\cdot 81}=2\cdot 9 \\\\ \therefore \boxed{\sf L_1=18 \ cm}\end{array}$

Logo, sua altura será:

$\large \begin{array}{lr} \sf H=\dfrac{L\sqrt{3}}{2}} \\\\ \sf H=\dfrac{18 \sqrt{3}}{2} \\\\ \sf \therefore \boxed{\sf H_1=9\sqrt{3} \ cm}\end{array}$

Para o segundo triângulo:

$\large \begin{array}{lr} \sf A=9\sqrt{3} \ cm^2 \\\\ \sf 9\sqrt{3}=\dfrac{L^2\sqrt{3}}{4}} \\\\ \sf L^2=4\cdot 9 \\\\ \sf L=\sqrt{4\cdot 9}=2\cdot 3 \\\\ \therefore \boxed{\sf L_2=6 \ cm}\end{array}$

E a altura é:

$\large \begin{array}{lr} \sf H=\dfrac{L\sqrt{3}}{2}} \\\\ \sf H=\dfrac{6 \sqrt{3}}{2} \\\\ \sf \therefore \boxed{\sf H_2=3\sqrt{3} \ cm}\end{array}$

Portanto, a razão entre as alturas é:

$\large \begin{array}{lr} \sf \dfrac{H_1}{H_2}=\dfrac{9\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=\dfrac{9}{3} \\\\ \therefore \boxed{\sf \dfrac{H_1}{H_2} =3} \ \longrightarrow \ \sf Alternativa \ \boxed{D}\end{array}$

Conclusão: a razão entre as alturas é 3, o que corresponde a alternativa D.

Continue aprendendo com o link abaixo:

Área de triângulo retângulo

https://brainly.com.br/tarefa/27064003

Bons estudos!

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