Question

1°aplicando as relações métricas apresentados aqui Determine os triângulos retângulos abaixo o valor de n, B, x,a, h e c.

2°em um triângulo retângulo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 6m e 8m determine a altura relativa a hipotenusa desse triângulo.

3°aplicando os conhecimentos de relações métricas, determine o valor de m, n, e h no triângulo retângulo abaixo ​

Answer 1

Seja ‘a’ a medida da hipotenusa, ‘b’ a medida do cateto, ‘c’ a medida do cateto, ‘h’ a medida da altura relativa à hipotenusa, ‘m’ a projeção do cateto b sobre a hipotenusa e ‘n’ a projeção do cateto c sobre a hipotenusa, as relações métricas do triângulo retângulo são:

• a·h = b·c

• b² = a·m

• c² = a·n

• h² = m·n

a) Temos h = 6 e m = 12, então:

h² = m·n

6² = 12n

n = 36/12

n = 3

b) Temos n = 3 e m = 9, então:

a = n + m

a = 12

b² = 12·3

b = √36

b = 6

c) Temos b = 2√6, h = y, a = x e m = 3:

(2√6)² = x·3

x = 24/3

x = 8

8 = 3 + m

m = 5

h² = m·n

y² = 3·5

y = √15

d) Temos n = 2, m = 4:

a = 2 + 4 = 6

c² = 2·6

c = √12 = 2√3

b² = 4·6

b = √24 = 2√6

h² = m·n

h = √8

h = 2√2

Answer 2

1º) Aplicando as relações métricas em cada triângulo retângulo, tem-se:

a) n = 3

b) b = 6

c) y = $\sqrt{15}$, x = 5

d) a = 6, c = $\sqrt{12}$, b = $\sqrt{24}$

2º) A altura relativa a hipotenusa é igual a $2*\sqrt{12}$.

3º) Os valores m, n, a e h são, respectivamente, $\frac{9}{5}, \frac{16}{5},5$ e $\frac{12}{5}$.

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

As relações métricas no triângulo retângulo relacionam as medidas dos catetos, hipotenusa, altura do triângulo (relativa à hipotenusa) e projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Cada uma dessas partes do triângulo são representados pelas letras:

• a: hipotenusa
• h: altura
• b: maior cateto
• c: menor cateto
• n: projeção do menor cateto
• m: projeção do maior cateto

As relações encontradas entre esses elementos do triângulo são mostradas na imagem em anexo.

1º) Para determinar, nos triângulos retângulos mostrados, as medidas de n, b, x, a, h e c, deve-se utilizar as relações métricas mais adequadas às informações fornecidas de cada triângulo.

a) é dado que h = 6, m = 12 e deseja-se calcular n. Da relação métrica h² = m*n, tem-se:

$6^2=12*n-->n=\frac{36}{12}=3$

Logo, n = 3.

b) é dado que n = 3 e m = 9. Para determinar a medida do menor cateto c é necessário usar a relação b² = a*n, em que a = m + n. Assim, tem-se:

$b^2=(3+9)*3-->c^2=12*3-->c=\sqrt{36}=6$

Assim, é visto que b = 6

c) Do triângulo apresentado, é visto que n = 3 e c = $2\sqrt{6}$. Para determinar o valor de y (correspondente a altura h), deve-se observar que c, n e y formam um pequeno triângulo retângulo, em que y é correspondente a um dos catetos.

Pelo Teorema de Pitágoras, y é:

$(2\sqrt{6})^2 =3^2+y^2-->y^2=4*6-9-->y=\sqrt{15}$

Sabendo o valor de y e que n = 3, o valor de x (equivalente a m) pode ser definido pela relação:

h² = n*m, em que h = y e m = x. Assim, é obtido:

$(\sqrt{15})^2=3*x-->x=\frac{15}{3}=5$

Logo, tem-se x = 5 e y = $\sqrt{15}$

d) Dado que n = 2 e m = 4, as medidas podem ser determinadas por:

a = m + n = 2 + 4 = 6

$c^2=a*n-->c^2=6*2=\sqrt{12}$

$b^2=a*m-->b^2=4*6-->b=\sqrt{24}$

2º) Dado que em um triângulo retângulo a medidas das projeções dos catetos medem 6 m e 8 m, pode-se determinar a altura relativa à hipotenusa desse triângulo através da relação:

h² = m*n

Em que m = 8 e n = 6. Assim, é tido que:

$h^2=6*8-->h=\sqrt{48}=\sqrt{4*12}=2*\sqrt{12}$

Portanto, a altura é $h=2*\sqrt{12}$

3º) No triângulo retângulo dado, as medidas conhecidas são b = 4 e c = 3. Sendo a a hipotenusa, pelo Teorema de Pitágoras sua medida é:

$a^2=3^2+4^2-->a=\sqrt{25}=5$

Sendo a = 5, b = 4 e c = 3, as projeções m e n são:

$c^2=a*m-->3^2=5*m-->m=\frac{9}{5}$

$b^2=a*n-->4^2=5*n-->n=\frac{16}{5}$

Por fim, a medida da altura h é dada por:

$h^2=m*n-->h^2=\frac{9*16}{5*5}-->h=\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{12}{5}$

Aprenda mais sobre as relações métricas no triângulo retângulo em:

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