105. Um barco navega na direção AB, próximo a um
farol P, conforme a figura.
I No ponto A, o navegador /verifica que a reta AP, da
embarcação ao farol, forma um ângulo de 30 com a
direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no
ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da
embarcação ao farol, forma um ângulo de 60 com a
mesma direção AB. Seguindo sempre a direção AB, a
menor distância entre a embarcação e o farol será
equivalente, em metros, a
sen30= 1 sobre 2
sen60=raiz de 3 sobre 2
cos30=raiz de 3 sobre 2
cos60=1 sobre 2
tg30=raiz de 3 sobre 3
tg60= raiz de 3
Soluções para a tarefa
menor distância = NP
tan 30° = √3/3 = NP / (1000 + BN)
⇒
3NP = √3.(1000 + BN)
3NP = 1000 √3 + BN √3
...
tan 60° = √3 = NP / BN
⇒
BN √3 = NP
Substituindo:
3NP = 1000 √3 + NP
2 NP = 1000 √3
NP = 500 √3 m
Resposta: A menor distância entre a embarcação e o farol será de 500√3 m.
A distância equivale a 500√3.
Em anexo esta anexado o diagrama da questão.
O triângulo APC e o triângulo BPC são congruentes. Deste modo, ambos possuem o lado PC em comum. Chamando PC de D, vamos ter:
No triângulo APC:
tg 30º = D/(1000 + BC)
D = (1000 + BC)*tg 30º
No triângulo BPC:
tg 60º = D/BC
D = BC*tg 60º
Igualando os dois valores de D:
(1000 + BC)*tg 30º = BC*tg 60º
1000*tg 30º + BC*tg 30º = BC*tg 60º
1000*√3/3 + BC√3/3 = BC√3
Dividindo tudo por √3:
1000/3 + BC/3 = BC
Multiplicando tudo por 3:
1000 + BC = 3BC
3BC - BC = 1000
2BC = 1000
BC = 1000/2 = 500
Utilizando esse valor, no triângulo BPC:
tg 60º = D/BC
√3 = D / 500
D = 500√3