Question

(100 pts.) Considerar o retângulo com lados a = 5 cm e b = 2 cm. Como vai variar, aproximadamente, a diagonal desse retângulo se o lado A aumentar 0,002 cm e o lado B diminuir 0,1 cm??

Answer 1

Dado um retângulo com dimensões a, b, podemos montar uma função que fornece a medida da diagonal desse retângulo. Pelo Teorema de Pitágoras, a medida da diagonal do retângulo é dada por

     $\mathsf{f(a,\,b)=\sqrt{a^2+b^2}}$


Aqui, f é uma função de duas variáveis, diferenciável em ℝ²\{(0, 0)}. Para variações "pequenas" nas dimensões do comprimento a e da largura b, podemos utilizar a seguinte aproximação para a variação da diagonal f(a, b):

     $\mathsf{\Delta f\approx \dfrac{\partial f}{\partial a}(a_0,\,b_0)\cdot \Delta a+\dfrac{\partial f}{\partial b}(a_0,\,b_0)\cdot \Delta b}$


Note a semelhança da fórmula acima com a definição de diferencial total de f:

     $\mathsf{df=\dfrac{\partial f}{\partial a}(a,\,b)\,da+\dfrac{\partial f}{\partial b}(a,\,b)\,db}$

—————

Sendo assim, devemos computar as derivadas parciais de f no ponto $\mathsf{(a_0,\,b_0)=(5,\,2):}$

Derivada parcial de f em relação a a:

     $\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial a}=\dfrac{\partial}{\partial a}(\sqrt{a^2+b^2})}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial a}=\dfrac{\partial}{\partial a}\big[(a^2+b^2)^{1/2}\big]}$


     Derive aplicando a Regra da Cadeia:

     •  $\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial a}=\dfrac{1}{2}\,(a^2+b^2)^{(1/2)-1}\cdot \dfrac{\partial}{\partial a}(a^2+b^2)}$

        $\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial a}=\dfrac{1}{2}\,(a^2+b^2)^{-1/2}\cdot (2a+0)}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial a}=\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 2}\cdot \dfrac{1}{(a^2+b^2)^{1/2}}\cdot (\diagup\!\!\!\! 2a)}$

     $\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial a}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}$        ✔


De modo análogo, derivando em relação a b, encontramos

     •  $\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial b}=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$        ✔


No ponto (5, 2), temos

     $\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial a}(5,\,2)=\dfrac{5}{\sqrt{5^2+2^2}}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial a}(5,\,2)=\dfrac{5}{\sqrt{25+4}}}$

     $\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial a}(5,\,2)=\dfrac{5}{\sqrt{29}}}$        ✔


     $\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial b}(5,\,2)=\dfrac{2}{\sqrt{5^2+2^2}}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial b}(5,\,2)=\dfrac{2}{\sqrt{25+4}}}$

     $\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial b}(5,\,2)=\dfrac{2}{\sqrt{29}}}$        ✔


Então, a variação aproximada da medida da diagonal é

     $\mathsf{\Delta f\approx \dfrac{\partial f}{\partial a}(5,\,2)\cdot \Delta a+\dfrac{\partial f}{\partial b}(5,\,2)\cdot \Delta b}\\\\\\ \mathsf{\Delta f\approx \dfrac{5}{\sqrt{29}}\cdot (0,\!002)+\dfrac{2}{\sqrt{29}}\cdot (-\,0,\!1)}\\\\\\ \mathsf{\Delta f\approx \dfrac{5\cdot (0,\!002)+2\cdot (-\,0,\!1)}{\sqrt{29}}}\\\\\\ \mathsf{\Delta f\approx \dfrac{0,\!010-0,\!2}{\sqrt{29}}}$

     $\mathsf{\Delta f\approx \dfrac{-\,0,\!19}{\sqrt{29}}\approx -\,0,\!035~cm}$


A diagonal do retângulo irá diminuir aproximadamente 0,035 cm.


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Bons estudos! :-)