Question

100 pontos urgente identifique os coeficientes e determine as raízes se existir.
g
-x²-4x-5=0

i
-x²+x+12=0

j
6x²+x-1=0

k
3x²-7x+2=0

Answer 1

De acordo com a resolução abaixo, as respostas são:

g)  Coeficientes: -1, -4 e -5
    Raízes: Inexistentes

i)   Coeficientes: -1, 1 e 12
    Raízes: -3 e 4

j)   Coeficientes: 6, 1 e -1
    Raízes: -¹/₂ e ¹/₃

k)  Coeficientes: 3, -7 e 2
    Raízes: ¹/₃ e 2

Vamos entender o porquê?

Antes de mais, será importante relembrar as Prioridades das Operações Matemáticas:

1º - Parênteses

2º - Potências e Raizes

3º - Multiplicações e Divisões

4º - Adições e Subtrações

Lembremos, também, a Fórmula Resolvente para Equações do Segundo Grau (Fórmula de Bhaskara):

Para qualquer equação do tipo  $ax^2+bx+c=0$ , temos que:

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Para além da resolução das equações, esta questão pede que identifiquemos os coeficientes. Mas o que são coeficientes?

Quando trabalhamos com variáveis, os termos têm sempre uma parte numérica (número) e uma parte literal (letra). O coeficiente nada mais é do que a parte númerica do termo.

Exemplos:

$2x\;\longrightarrow\;Coe\!f\!iciente:2\quad Parte\;Literal:x$

$\sqrt{3}y^2\;\longrightarrow\;Coe\!f\!iciente:\sqrt{3}\quad Parte\;Literal:y^2$

$7\;\longrightarrow\;Coe\!f\!iciente:7\quad Parte\;Literal:inexistente$

$z\;\longrightarrow\;Coe\!f\!iciente:1\quad Parte\;Literal:z$

Com isto em mente, passemos à resolução do exercício.

g)  Coeficientes: -1, -4 e -5

    Resolução:

    $-x^2-4x-5=0$

    $x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times(-1)\times(-5)}}{2\times(-1)}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{16+4\times(-5)}}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-20}}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{-4}}{-2}\qquad(\text{Imposs\'ivel em }\mathbb{R})$

    $\therefore\quad x\in\O$

i)   Coeficientes: -1, 1 e 12
    Resolução:

    $-x^2+x+12=0$

    $x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times(-1)\times12}}{2\times-1}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+4\times12}}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+48}}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{49}}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm7}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-1-7}{-2}\quad\vee\quad x=\dfrac{-1+7}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-8}{-2}\quad\vee\quad x=\dfrac{6}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=4\quad\vee\quad x=-3$

    $\therefore\quad x\in\{-3\;;\;4\}$

j)   Coeficientes: 6, 1 e -1
    Resolução:

    $6x^2+x-1=0$

    $x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times6\times(-1)}}{2\times6}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1-24\times(-1)}}{12}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+24}}{12}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{25}}{12}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm5}{12}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-1-5}{12}\quad\vee\quadx=\dfrac{-1+5}{12}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-6}{12}\quad\vee\quadx=\dfrac{4}{12}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\quad\vee\quadx=\dfrac{1}{3}$

    $\therefore\quad x\in\left\{-\dfrac{1}{2}\;;\;\dfrac{1}{3}\right\}$

k)  Coeficientes: 3, -7 e 2

    Resolução:

    $3x^2-7x+2=0$

    $x=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\times3\times2}}{2\times3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{7\pm\sqrt{49-12\times2}}{6}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{7\pm\sqrt{49-24}}{6}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{7\pm\sqrt{25}}{6}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{7\pm5}{6}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{7-5}{6}\quad\vee\quad x=\dfrac{7+5}{6}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{6}\quad\vee\quad x=\dfrac{12}{6}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\quad\vee\quad x=2$

    $\therefore\quad x\in\left\{\dfrac{1}{3}\;;\;2\right\}$

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Answer 2

Resposta:

g)   S  =  {  }         i)  S  =  { - 3,  4 }        j)   S  =  { - 1/2,  1/3 }

k)    S  =  { 1/3,  2 }

Explicação passo a passo:

.

.    Equações de 2º grau da forma   ax²  +  bx  +  c  =  0

.

g)   - x²  -  4x -  5  =  0     ==>    a = - 1,     b = - 4,     c = - 5

.

Δ  =  b²  -  4 . a . c

.    =  (- 4)²  -  4 . (- 1) . (- 5)

.    =  16  -  20

.    =  - 4   <   0    ==>  NÃO EXISTEM raízes reais

.

i)    - x²  +  x  +  12  =  0      ==>    a = - 1,    b = 1,    c = 12

.

Δ  =  1²  -  4 . (- 1) . 12                 x  =  ( - b  ±  √Δ ) / 2 . a

.    =  1  +  48                                  =  ( - 1  ±  √49 ) / 2 . (- 1)

.    =  49                                         =  ( - 1  ±  7 ) / (- 2)

.

x'  =  ( - 1   -  7 ) / (-2)  =  - 8 / (-2)  =  4        

x"  =  ( - 1  +  7 ) / (-2)  =  6 / (-2)  =  - 3

.

j)    6x²  +  x  -  1  =  0     ==>      a = 6,    b = 1,    c = - 1

.

Δ  =  1²  -  4 . 6 . (- 1)               x  =  ( - b  ±  √Δ ) / 2 . a

.    =  1  +  24                               =  ( - 1  ±  √25 ) / 2 . 6

.    =  25                                      =  ( - 1  ±  5 ) / 12

.

x'  =  ( - 1  -  5 ) / 12  =  - 6 / 12  =  - 1 / 2

x"  =  ( - 1  +  5 ) / 12  =  4 / 12  =  1 / 3

.

k)   3x²  -  7x  +  2  =  0     ==>     a = 3,   b = - 7,    c = 2

.

Δ  =  (- 7)²  -  4 . 3 . 2              x  =  ( - b  ±  √Δ ) / 2 . a

.    =  49  -  24                             =  ( - (-7)  ±  √25 ) / 2 . 3

.    =  25                                      =  ( 7  ±  5 ) / 6

.

x'  =  ( 7  -  5 ) / 6  =  2 / 6  =  1 / 3

x"  =  ( 7  +  5 ) / 6  =  12 / 6   =  2

.

(Espero ter colaborado)